2024年山西省晋城市沁水县多校中考二模数学试卷(解析版)

这是一份2024年山西省晋城市沁水县多校中考二模数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. 12B. 3C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
2. 年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念，D选项所示的图形左右两边对折能够重合，
因此是轴对称图形，
故选：D．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：B．
4. 如图，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，交边于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5. 不等式组的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：C．
6. 下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（ ）
A. 调查某市中学生每天学习所用的时间
B. 调查全国人口的平均寿命
C. 调查某班学生数学期末考试成绩的及格率
D. 调查某批次医用外科口罩的合格率
【答案】C
【解析】A．调查某市中学生每天学习所用的时间，最适合采用抽样调查，不符合题意；
B．调查全国人口的平均寿命，最适合采用抽样调查，不符合题意；
C．调查某班学生数学期末考试成绩的及格率，最适合采用全面调查，符合题意；
D．调查某批次医用外科口罩的合格率，最适合采用抽样调查，不符合题意．
故选：．
7. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】由作法得，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
故选A．
8. 如图，内接于，为的直径．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
∵是的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴．
故选：B．
9. 传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵转动轮转动了两周后又转过且根据弧长公式可知，
传送带上的物品被传送的距离为
故选：D
10. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵且，，且关于y轴对称，
∴点坐标为，
∵轴，，最低点在轴上，
∴关于直线对称，
∴左边抛物线的顶点的坐标为，
∴右边抛物线的顶点的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 计算的结果为______．
【答案】3
【解析】．
12. 2024年3月22日，我国自主研制的全球最大、吊装能力最强，全球首款1桥轮式起重机，在河北衡水将单机容量的风机顺利吊装到位，完成首吊．本次吊装需要将120t的风力发电机组机舱，以及长、重28t的扇叶吊至的高空，相当于50多层楼高．数据“”用科学记数法表示为______kg．
【答案】
【解析】依题意， ，
∴将数据用科学记数法表示
故答案为：．
13. 我国人工智能行业可按照应用领域分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类别，某班要求班级中每位同学都从中随机选择一种类别进行调查，并制作相关的手抄报在“人工智能”的班会上展示．若王老师将四大类别的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，一位同学随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，下一位同学再随机抽取一张，如此重复，则小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为______．

【答案】
【解析】决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能分别用，，，表示，根据题意画图如下：

共有16种等可能的结果数，其中小兵和小强抽取卡片的类别相同的结果数为4，
所以小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为．
14. 如图是一支温度计的示意图，图中左边的刻度表示的是摄氏温度（℃），右边的刻度表示的是华氏温度（°F），某兴趣小组通过温度计的读数，得到下表中的数据：

请根据数据计算当摄氏温度为5℃时，对应的华氏温度为______°F．
【答案】41
【解析】由表知，摄氏温度每升高20度，华氏温度都升高36度，即华氏温度（用字母y）是摄氏温度（用字母x）的一次函数关系，
设，由表知，当时，；当时，；
故有：，解得：，
即；
当时，；
即当摄氏温度为5℃时，对应的华氏温度为．
15. 如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为______．
【答案】
【解析】过点作的垂线，交于点，
是矩形，，
，
，，
在与中，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：
解：（1）；
（2），
，得，
解得，
把代入①，得，解得，
∴原方程组的解为．
17. 如图，在中，，于点D．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交边于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）连接，求证：．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴．
18. 习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格．
解：设每个乙种书柜的价格是元，则购进每个甲种书柜的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：每个甲种书柜的价格是192元，每个乙种书柜的价格是160元．
19. 国际上将每年的4月8日定为国际珍稀动物保护日．为促进大家对保护珍稀动物知识的了解，某校从七、八年级中各随机抽取50名学生进行保护珍稀动物知识测试，并将测试成绩x（单位：分）分为五组：A．，B．，C．，D．，E．，整理、分析过程如下：
【收集数据】七年级50名学生中，测试成绩在D组的具体数据如下：
84，86，82，83，84，85，86，85，85，86，86，87，88，80，81．
【整理数据】七、八年级测试成绩频数分布表如下：
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中，______，______．
（2）已知该校八年级有600名学生，若规定80分及以上为优秀，试估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数．
（3）结合以上信息，请判断哪个年级的学生对保护珍稀动物知识的了解情况较好，并说明理由．
解：（1）根据表格中的数据可知：，
∵将七年级50名学生的成绩进行排序，排在中间的2个数为86，87，
∴；
（2）（人），
答：估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数为276．
（3）因为两个年级50名学生的平均成绩相同，七年级学生成绩的中位数和众数都比八年级大，所以七年级的学生对保护珍稀动物知识的了解情况较好．
20. 材料阅读：
问题解答：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，）

解：在中，，，
∴．
由题意，可得．
∴．
∵P，O，C三点在同一条直线上，
∴．
∴．
设，则，
由勾股定理得，，解得，∴．
∴．
答：的长约为．
21. 请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全证明过程．
（2）将与的交点记为点E，若，且的半径为5．求的长．
（1）证明：由作图痕迹，知是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵E为线段垂直平分线上的一点，∴．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
∴，
∴．解得．
22. 综合与实践
问题情境：
四边形是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，．
数学思考：
（1）如图1，当点位于边上时，试判断四边形的形状，并证明．
（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离．
（3）拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长．
解：（1）四边形为平行四边形，证明如下；
由题意得，，，．
由平移的性质，得，，，．
∴，，．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形；
（2）如图1，过点D作于点K．
∵四边形为矩形，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
由平移的性质，得，，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴平移的距离为．
（3）由题意知，分两种情况求解；
①如图2，连接．
由题意，得．
由旋转的性质，得．∴
又∵，
∴四边形为平行四边形，
由（2），得．∴．
②如图3，当点在的延长线上时，，记与交于点P，点，，在同一条直线上，
∵，，
∴．
∵，，∴点与点重合，
∵，∴四边形为菱形．
如图3，连接，，，与交于点O，则点F在上，，，．
∵，∴．∴．
由①知．∴．
∵，∴．
又∵，∴为等边三角形，
∴，．∴．
在中，．
综上所述的长为1或．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P．

（1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值．
（3）如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，即．
当时，．解得，．
∵点A在点C的左侧，
∴，．
设直线的函数表达式，
将，代入得，，解得，，
∴直线的函数表达式为．
（2）如图1，过点P作轴，交于点F，则．
设，则．
∴．
∵轴，
∴．
∴，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴当时，线段的最大值为1．
（3）∵，，E为的中点，
∴，．
设直线的函数表达式为．
把，代入得，解得
∴直线的函数表达式为．
设．
①当为菱形的边时，，如图2．

∴．∴．
解得或．
∴点M的坐标为或．
∴点N的坐标为或．
②当为菱形的对角线时，，如图3．

∴．
∴．解得．
∴点M的坐标为．
∴点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或或．摄氏温度/℃
0
20
40
华氏温度/°F
32
68
104
组别
年级
A
B
C
D
E
七年级
4
8
m
15
12
八年级
5
10
12
13
10
平均数/分
众数/分
中位数/分
七年级
78
86
n
八年级
78
85
78
光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．

2022版课标新增了“会过圆外的一个点作圆的切线”，小颖同学对此展开积极探索，在查阅资料时下面的这道题目引起了她的兴趣．
如图，已知及外一点M，求作直线，使与相切于点N．
小颖同学经过思考，得到一种作图方法，步骤如下：
如图，①连接，分别以点O，M为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点A，B；②作直线，交于点C；③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点N；④作直线，则直线即为所求．
证明：如图，连接．
……
∴．
又∵为上的一点．
∴是的切线．