2023~2024学年山东省青岛市市南区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市市南区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．
2. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，∴，故选：C．
3. 根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（ ）
A. 1.5B. 1.2C. 1.3D. 1.4
【答案】C
【解析】由表格可得：当x的值是1.3时，x2+x﹣3的值与0最接近．
因而方程的近似解是1.3．故选C．
4. 如图，在中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，

，

解得：经检验符合题意
故选C
5. 乐器上一根弦，两端点、固定在乐器板面上，期间支撑点是的黄金分割（），则的长是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵点是的黄金分割点，且，，
∴．
故选：A
6. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意可得：
2月5日的销量为：，
2月6日的销量为：，
，
故选：D．
7. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（ ）
A. 30°B. 40°C. 45°D. 60°
【答案】C
【解析】如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，∠ADC=120°，
∵点P是AB的中点，∴DP⊥AB，
∵CDAB，∴∠CDP=∠APD=90°，
∴由折叠的性质可得：∠CDE=∠CDP=45°．
故选：C．
8. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A. a＝bB. a＝2bC. a＝2bD. a＝4b
【答案】B
【解析】对折两次后小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
9. 如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（ ）
A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，故选：B．
10. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，过点作，垂足为，交于点，

则，设米，
由得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故选：D．
二、填空题（本大题满分18分，共6小题，每小题3分）
11. 方程的根是______.
【答案】
【解析】，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
12. 若，，则a的值为____________．
【答案】4
【解析】设，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18，
∴k=2，
∴a=2k=4，
故答案为：4．
13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______.
【答案】且
【解析】由一元二次方程可知；由方程有两个实数根可知，
解得且，
故答案为：且．
14. 儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票50张，请你通过计算估计袋中白球的数量是______个.
【答案】
【解析】设袋中共有个白球，则摸到红球的概率（红球）=
依题意，
解得：，经检验是原方程的解；
故答案为：．
15. 如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝8，则AE的长为__．
【答案】
【解析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，

在▱ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，
由于▱ABCD沿EF对折，
∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，
D′C＝AD＝BC，
∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF＝∠ECB，且∠D'＝∠EBC，D'C＝BC
∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F＝EB，CF＝CE，
∵DF＝D′F，∴DF＝EB，AE＝CF
设AE＝x，则EB＝8﹣x，CF＝x，
∵BC＝4，∠CBG＝60°，∴BG＝BC＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理可知：CG＝，
∴EG＝EB+BG＝8﹣x+2＝10﹣x
在Rt△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2＝x2，
∴x＝,∴AE＝,故答案为：
16. 如图，在中，，，，，为线段上两动点，且，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，.现有以下结论：①，②当点与点重合时，，③，④，其中正确结论为 _____．
【答案】①②④
【解析】①由题意知，是等腰直角三角形，
∴，故①正确．
②如图1，当点与点重合时，点与点重合，
∴，，
∵，∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴是的中位线，
∴，故②正确．
③如图2所示，
∵，，
∴，
将绕点C顺时针旋转90°至，
则，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
∴，
∵，∴，
∴，即，故③错误．
④∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意知四边形是矩形，
∴，，，
∴，，即，，
∴，，
∴．
故④正确．
故答案为：①②④．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
是直角三角形余料，，工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在，，上．

解：如图所示，作出的平分线，交于一点，即为另一顶点；作出的垂直平分线交，于点，就得到了正方形．

四、解答题（本大题满分68分，共9小题）
18. 如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为、，

（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出图形；
（2）A点的对应点的坐标是 ；B点的对应点的坐标是 ；
（3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ；
解：（1）位似图形如图所示；

（2）由图可知，、，
故答案为：、；
（3）由位似图形的性质可知，，
故答案为：．
19. 解方程
（1）（公式法）；
（2）（配方法）.
解：（1），
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）
∴．
∴．
∴
∴，．
20. 为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩·跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团的概率是__________；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小濒抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率．
解：（1）共有四个社团，小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团概率是：；
故答案为：．
（2）画树状图如图，

共有12种等可能结果，其中有一张是演讲社团的情形，有6种，
∴小濒抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率为．
21. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．∴．
∴AB=OA−OB=3（米）．∴旗杆的高AB为3米．
22. 如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边BC的长为 米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AB的长．

解：（1）设AB＝x米，则CD＝AB＝x米，
∴BC＝34+2﹣2AB＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米．
故答案为：（36﹣2x）．
（2）依题意得：x（36﹣2x）＝160，
化简得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意．
答：AB的长为10米．
23. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．

（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足条件_________时，四边形是正方形．（填空即可，不必说明理由）
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）当时，四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴°，
由（2）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
故答案为：．（答案不唯一）
24. “中秋节”前，某超市第一次以元盒的进价购进一款月饼礼盒盒，并以元/盒的售价全部销售完销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在元基础上每降价元，销量就会相应增加盒．该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过盒．
（1）在进价不变的情况下，若第二次实际售价在第一次基础上降了元，则该超市这款月盒饼每盒利润为______元，预计销售量为______品．
（2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加，求的值．
解：（1）现利润元；
预计销售量,故答案为：， ．
（2）第一次利润为：
依题意可得：
整理得：,解得：，
∵,∴,∴
答：的值为．
25. 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
（1）【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）；
（2）【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
（3）【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，，则折痕的长；
（4）【拓展运用】如图④，四边形中，，，，，点、分别在边、上，则的值为______.
解：（1）由题意知，，
又∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图②，过作交于，过作交于，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
同（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）由矩形的性质可得，
由勾股定理得，
由（2）可知，，即，解得，
∴的长．
（4）如图④，过点作，交的延长线于，过点作，连接，

，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，且，
，且，
，
，，
，
，
不合题意舍去，，
，
由（2）可得．
26. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是过点作于点，连接，

（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由.
解：（1）由题意可知，，
，，
，
．
， ，
．
（2），，．
，，四边形为平行四边形，
要使平行四边形为菱形，则需，即，
解得，当时，四边形为菱形，
（3）当时，如图①，

，，
，
四边形为矩形．

，即，
解得，，
当时，如图②，

，
，
∴．
，即，
解得，，
综上所述，当或时，为直角三角形．
x
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+x﹣3
﹣0.36
﹣0.01
0.36
0.75