黑龙江省大庆市大庆石油高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份黑龙江省大庆市大庆石油高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共19页。
注意事项
1.考试时间120分钟，满分150分2.答题前，考生务必先将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上，并准确填涂.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.
4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效.
一､选择题（本题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从数字中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
4.已知为坐标原点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.正方体中，为中点，则直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A.1 B.2 C. D.4
7.已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）
A.10 B.8 C.24 D.
8.已知为双曲线的左､右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于､两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A.
B.以为直径的圆与轴相切
C.的坐标为
D.
11.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列描述正确的有（ ）
A.直线与圆相交
B.的最小值为
C.存在点，使得
D.直线过定点
三､填空题（本题共3小题，共15分.）
12.甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲､乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为__________.
13.已知点，则过点且与原点的距离为2的直线的方程为__________.
14.已知为椭圆的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分）
15.某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目､则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
（1）求王阳第三次答题通过面试的概率；
（2）求王阳最终通过面试的概率.
16.以点为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆A的方程；
（2）过点的直线与圆A相交与两点，当时，求直线方程；
（3）已知实数满足圆A的方程，求的最小值.
17.在四棱锥中，底面是正方形，若.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
18.已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于两点（两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值.
19.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）过点作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于点，且的面积为为坐标原点，求的方程；
（3）点在上，且为垂足.问：是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点坐标以及的值；若不存在，说明理由.
大庆石油高级中学2024—2025学年度上学期
期中考试答案
高二数学
一､选择题（本题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.D
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】基本事件为共6个，其中符合条件的基本事件为共4个，所求概率为.
故选：D
2.B
【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为，
所以该圆锥的侧面积为，表面积为.
故选：B
3.C
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为代入抛物线，解得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
4.A
【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果.
【详解】设，则，即①.
因为点在圆上运动，所以满足②.
把①代入②，得，即.
故线段的中点的轨迹方程为.
故选：A
5.C
【分析】取的中点，可证得，从而（或其补角）为直线所成的角，利用余弦定理及同角的三角函数关系式求解即可.
【详解】取的中点，连接，
为平行四边形，，
为中点，为中点，，
（或其补角）为直线所成的角.
设正方体的棱长为2，则，
，
，
，
直线所成角的正弦值为.
故选：C.
6.B
【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.
【详解】由，则圆的标准方程为，如下图：
图中为圆的圆心，为直线与圆的交点，
易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，.
故选：B.
7.B
【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案.
【详解】椭圆中，，
因为为上关于坐标原点对称的两点，所以，
又，故四边形为平行四边形，
又，故四边形为矩形，即，
由勾股定理得①，
由椭圆定义得②，
式子②平方得，
结合①得，
故四边形的面积为.
故选：B
8.A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】因为，所以，
设，则，设，则，
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以，
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为.
故选：A.
二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.AD
【分析】根据线面､面面关系可判断；举反例可判断BC.
【详解】对于，所以或，而，故，故A正确；
对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；
对于C，如图，长方体中，
，则，故C错误；
对于D，若，则，而，故，故D正确.
故选：AD.
10.AB
【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断
A；求出点的坐标，即可判断B，D；
【详解】抛物线的焦点为，故C错误；
点在抛物线上，若，
则，所以，故A正确；
代入，得，故或
所以，故D错误；
所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为，
所以圆心为：或到轴的距离为：等于圆的半径，
故以为直径的圆与轴相切，故B正确；
故选：AB
11.BCD
【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D.
【详解】圆的圆心，半径，连接，对于A，点到直线的距离，直线与圆相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为正确；
对于D，设，则以为直径的圆的方程为
即，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为，
即，由可得，
即直线过定点，故D正确；
故选：BCD
【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆､圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可.
三､填空题（本题共3小题，共15分.）
12.
【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.
【详解】设甲中靶为事件A，乙中靶为事件，
则恰有一人中靶的概率为
，
故答案为：0.46.
13.或
【分析】
对直线的斜率不存在与存在时分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出；
【详解】
①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为.
②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，，解得，
.
故所求的方程为或.
故答案为：或.
14.
【分析】法一：直接设出坐标为，利用在椭圆上以及得到关于的方程组，从而解出，进而求出的面积.
法二：利用，推导出与两焦点构成的三角形为直角三角形，再求出该直角三角形面积，从而利用几何关系得出的面积.
【详解】法一：设椭圆上，则，又，联立解得，
，
则.
法二：设椭圆的另一焦点，则焦点为直角三角形，
设，则，解得，
所以.
则.
故答案为：
四､选择题（本题共8小题，共40分.）
15.（1）0.063
（2）0.9919
【分析】（1）分析可知：若王阳第三次答题通过面试，则前2次均不通过，结合独立事件概率求法运算求解；
（2）先求王阳未通过面试的概率，结合对立事件概率求法运算求解.
【详解】（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件A，
若王阳第三次答题通过面试，则前2次均不通过，
所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
（2）记“王阳最终通过面试”为事件，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
16.（1）
（2）或
（3）9
【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解；
（2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论；
（3）求得圆心到的距离的最小值可得结论.
【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆A的半径，
由点到直线的距离公式可得，
所以圆的方程为.
（2）因为直线与圆A相交与两点，且，
所以可得圆心A到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直A到直线的距离为1，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或.
（3）表示点到的距离的平方，
又圆心到到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，
所以的最小值为.
17.（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）取的中点为，连接，由勾股定理证明为直角三角形且，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建如图所示的空间坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间向量二面角公式求解即可；
【详解】（1）取的中点为，连接.
因为，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且
因为，且平面，故平面，
因为平面，故平面平面
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，
.
故平面和平面的夹角的余弦值为.
18.（1）或
（2）
【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值.
【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
（2）由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为，
设，
联立直线与抛物线，得，
则，解得，
且，
，
又以为直径的圆经过原点，
即，
解得.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆､双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
19.（1）；
（2）或；
（3）答案见解析.
【分析】（1）由离心率可得三者关系，结合过点，可得方程；
（2）设/：，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理得面积关于k的表达式，即可得答案；
（3）设出点的坐标，在斜率存在时设方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，得到与的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）设，由题.
设，则，则，代入点，
得；
（2）由题设/：，令，则/：.
将其与联立，消去得：.
由题其判别式：.
设，因为/与椭圆的两个交点，由韦达定理：
.
则
.
又原点到直线/的距离为，
则，，
或，得或或.
又不与坐标轴垂直，则，则或.
则/的方程为：或；
（3）设点.
若直线斜率存在时，设直线的方程为：
代入椭圆方程消去并整理得：.
则
由韦达定理：.
又，则.
注意到.
则
整理得：，因不在直线上，
则.则，
则直线方程为：.即直线过定点.
当直线斜率不存在时，则，
，又.
得或（舍去），得此时直线过点.
则直线过定点，又由题可得为直角三角形，为直角.
则当为斜边中点时，
.
则存在点，使得.
【点睛】关键点睛：对于直线与椭圆的综合问题，常利用联立，韦达定理解决；对于定点问题，即可找定点满足条件，也可研究定点所在直线的特征.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
C
B
B
A
AD
AB
题号
11
答案
BCD