安徽省鼎尖教育联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省鼎尖教育联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|1⩽x＜5}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|1⩽x＜2}
2．（5分）复数z满足z（1+2i）＝3+i，则＝（ ）
A．B．1﹣iC．D．1+i
3．（5分）已知曲线f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+5＝0垂直，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
4．（5分）已知，，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知函数在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，O为其外心．若△ABC外接圆半径为R，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．2D．
7．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．∠PAB＝90°
B．当平面PCD⊥平面PAB时，PD＝5
C．M，N分别为AD，PC的中点，则MN∥平面PAB
D．四棱锥P﹣ABCD外接球半径的最小值为
8．（5分）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（ ）
A．B．
C．a2+2b≥8D．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），∀θ∈R，f（3t+tcsθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）恒成立，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．t可以取
D．当时，f（3t+tcsθ﹣2﹣sinθ）的取值范围是
（多选）11．（6分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一点，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，则（ ）
A．过点M有四条直线与AB，BC所成角均为
B．BB1⊥平面AB1C
C．棱A1C1上存在点Q，使平面AB1Q∥平面BMC1
D．若点P在侧面ABB1A1上运动，且CP与平面ABB1A1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），则x＝ ．
13．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使成立的最大整数为 ．
14．（5分）某同学在同一坐标系中分别画出曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2csr，曲线E：y＝﹣2csr，作出直线，，直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得；直线x＝β交曲线C、E于P、Q两点，且P在Q上方，测得，则cs（α+β）＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＝cs2B，且．
（1）求A﹣B的值；
（2）若，求△ABC的面积．
16．（15分）已知函数
（1）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式；
（2）已知点A（2，﹣1），点M是函数f（x）在区间（0，3）上的图象上的点，求|MA|的最小值．
17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．
18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1有两个零点x1，x2（x1＜x2），函数．
（1）解不等式g（x）＞0；
（2）求实数a的取值范围；
（3）证明：．
19．（17分）定义数列{an}为“阶梯数列”：，，，…，．
（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；
（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；
（3）证明：．
2024-2025学年安徽省鼎尖教育联盟高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|1⩽x＜5}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|1⩽x＜2}
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，M＝{x|1⩽x＜5}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，
故M∩N＝{x|1⩽x＜2}．
故选：D．
2．（5分）复数z满足z（1+2i）＝3+i，则＝（ ）
A．B．1﹣iC．D．1+i
【答案】D
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z（1+2i）＝3+i，
∴，
∴．
故选：D．
3．（5分）已知曲线f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+5＝0垂直，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【答案】C
【分析】求出原函数在x＝0处的导数值，再由题意列式求解a值．
【解答】解：由f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1），得，
则f′（0）＝a﹣1，
而直线x+2y+5＝0的斜率为，
由题意可得，即a﹣1＝2，解得a＝3．
故选：C．
4．（5分）已知，，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
又，则sinα＞0，csα＜0，
即csα﹣sinα＜0．
所以，因为，所以sin2α＜0．
由，可得，即，符合题意．
故选：C．
5．（5分）已知函数在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数、对勾函数的性质，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为在（0，+∞）上单调递减，
所以，
即，解得．
所以a的取值范围为[，1）．
故选：D．
6．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，O为其外心．若△ABC外接圆半径为R，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心性质，结合平面向量数量积运算，得a＝mR，再利用正弦定理，即可求得m．
【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB交AB于D，OE⊥AC交AC于E，
由点O为△ABC的外心，可得D，E分别是AB，AC的中点，
则，，
由，
可得，
即，
整理得ccsB+bcsC＝mR，即a＝mR，
由正弦定理，可得，
故．
故选：B．
7．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．∠PAB＝90°
B．当平面PCD⊥平面PAB时，PD＝5
C．M，N分别为AD，PC的中点，则MN∥平面PAB
D．四棱锥P﹣ABCD外接球半径的最小值为
【答案】B
【分析】根据题意易得AB⊥平面PAD，再由线面垂直的性质，二面角的概念，线面平行的判定定理，四棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，
又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，又AP⊂平面PAD，
所以AB⊥AP，所以∠PAB＝90°，所以A选项正确；
若平面PCD⊥平面PAB，则两平面所成的二面角为90°，
设平面PCD∩平面PAB＝l，
因为AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，且平面PCD∩平面PAB＝l，
AB∥l，又AB⊥平面PAD，
所以l⊥平面PAD，所以∠APD＝90°，
在Rt△PAD中，PA＝3，AD＝4，所以，故B错误；
取BC中点为Q，则MQ∥AB可得MQ∥平面PAB，
NQ∥PB，所以NQ∥平面PAB，所以平面MNQ∥平面PAB，
因MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAB，故C正确；
设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，O在平面PAD、平面ABCD的射影分别为O1、O2，
易知四边形OO1MO2为矩形，OA为外接球半径，
所以，
所以，仅当O1、M重合时取等，
此时∠APD＝90°，，故D正确．
故选：B．
8．（5分）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列{cn}中，c1＝1，，记数列{cn}的前n项积为Tn，数列{Tn}的前n项和为Sn，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由数列的裂项相消求和与数列的单调性，计算可得所求取值范围．
【解答】解：在数列{cn}中，c1＝1，，
可得＝n﹣，即有cn＝＝，n≥2，
即有Tn＝＝1×××...×＝＝
＝2（﹣），
则Sn＝T1+T2+...+Tn＝2（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣），
由于n≥2，{Sn}递增，可得S2≤Sn＜2，即为≤Sn＜2．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，则（ ）
A．B．
C．a2+2b≥8D．
【答案】AD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：a＞0，b＞0，且a+b＝4，
．故A正确；
因为＝，当前仅当a＝b＝1时取等号，
所以，B错误；
因a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+2b＝a2+2（4﹣a）＝（a﹣1）2+7≥7，故C错误；
因为，
令，根据对勾函数单调性可定，当x＝2时，f（x）取得最小值8．
所以 故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），∀θ∈R，f（3t+tcsθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）恒成立，则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．t可以取
D．当时，f（3t+tcsθ﹣2﹣sinθ）的取值范围是
【答案】ABC
【分析】由偶函数的定义可得A正确；由递增函数的定义可得B正确；由函数为递增函数可得，再令，由辅助角公式得到，解出可得C正确；由辅助角公式得到，再画函数图像可得D错误；
【解答】解：函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的定义域为R，
且f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数，故A正确；
设0＜x1＜x2，
则，
∴，故，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故B正确；
故f（3t+tcsθ﹣2﹣sinθ）⩽f（2+sinθ）⇔|3t+tcsθ﹣2﹣sinθ|⩽|2+sinθ|
，
令，化为2sinθ﹣ycsθ＝3y﹣4，，
故，解得，故，故C正确；
∵时，，
由图可知，，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（6分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一点，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，则（ ）
A．过点M有四条直线与AB，BC所成角均为
B．BB1⊥平面AB1C
C．棱A1C1上存在点Q，使平面AB1Q∥平面BMC1
D．若点P在侧面ABB1A1上运动，且CP与平面ABB1A1
【答案】ACD
【分析】由作直线与AB，BC所成角取值范围是，判断A；由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，再由BC⊥AB，得AB⊥平面BCC1B1，从而AB⊥BB1，推导出BB1⊥AB1与AB⊥BB1矛盾，判断B；在A1C1上取点Q，使，则，连接AQ，得四边形QC1MA为平行四边形，由此能推导出平面AB1Q∥平面C1BM，判断C；点C到面A1AB距离为h，在三棱锥A1﹣ABC中，求出体积，得到点C到面A1AB距离，判断D．
【解答】解：∵过点M作直线与AB，BC所成角取值范围是，
∴过点M有四条直线与AB，BC所成角均为，故A正确；
由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，
又BC⊥AB，故AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥BB1，
若BB1⊥平面AB1C，∴BB1⊥AB1与AB⊥BB1矛盾，故B错误；
在A1C1上取点Q，使，则，连接AQ，
∴四边形QC1MA为平行四边形，∴AQ∥C1M，
∵C1M⊂平面C1BM，∴AQ∥平面C1BM，
∵AB1∥平面C1BM，∴平面AB1Q∥平面C1BM，故C正确；
点C到面A1AB距离为h，在三棱锥A1﹣ABC中，
其体积，
∴，即点C到面A1AB距离为，
设C在面ABB1A1投影为H，从而，
∴，又，，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），则x＝ ﹣7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由向量垂直的坐标表示建立方程求解即可．
【解答】解：因为＝（x﹣1，1），＝（2，3），
所以，
因为⊥（+），
所i，解得x＝﹣7．
故答案为：﹣7．
13．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，其前n项和为Sn，则使成立的最大整数为 63 ．
【答案】63．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，求出Sn，再结合取整函数的定义，即可求解．
【解答】解：等差数列{an}的通项公式an＝2n+1，
则a1＝3，
故＝n2+2n，
∴，
，∴，
即，
∴n（n+1）⩽4050，
n＝63时，63×64＝4032＜4050；n＝64时，64×65＝4160＞4050．
故n的最大值为63．
故答案为：63．
14．（5分）某同学在同一坐标系中分别画出曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2csr，曲线E：y＝﹣2csr，作出直线，，直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，测得；直线x＝β交曲线C、E于P、Q两点，且P在Q上方，测得，则cs（α+β）＝ ．
【答案】．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：由于曲线C：y＝sinr，曲线D：y＝2csr，曲线E：y＝﹣2csr，作出直线，，
直线x＝α交曲线C、D于M、N两点，且M在N的上方，
测得；
所以：．
则由 ，得
令 ，
则 ，
同理 ，β∈（0，2）
则 ，
cs（α+β）＝cs[（α﹣φ）+（β+φ）]＝cs（α﹣φ）cs（β+φ）﹣sin（α﹣φ）sin（β+φ）
＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A＝cs2B，且．
（1）求A﹣B的值；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）由诱导公式结合已知计算即可；
（2）由两角和的正弦展开式和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）sin2A＝cs2B＝sin（），
故或，
当时，不合题意，
故2A﹣2B+，即A﹣B＝；
（2）∵，
由正弦定理得sinA＝sinB，即，
∴sinB+＝sinB，即sinB＝csB，
则tanB＝1，由B为三角形内角得，
故，，
故．
16．（15分）已知函数
（1）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式；
（2）已知点A（2，﹣1），点M是函数f（x）在区间（0，3）上的图象上的点，求|MA|的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据自变量x﹣3的范围代入函数解析式即可；
（2）设出M坐标，根据两点之间的距离公式列式即可．
【解答】解：函数，
（1）由题可知在（0，3）上，f（x）＝f（x﹣3），
而﹣3＜x﹣3＜0，所以，
即在（0，3）上，；
（2）设M（x0，y0），
＝，
当且仅当时，取得等号，解得，
故|MA|的最小值为．
17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D为PC的中点，G在线段PB上，且．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【分析】（1）先证AD⊥平面PBC，根据线面垂直的定义证明线线垂直．
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的大小．
【解答】解：（1）证明：由于PA⊥底面ABC，并且BC⊂底面ABC，
因此PA⊥BC，
由于PA∩AC＝A，且PA，AC⊂平面PAC，并且AC⊥BC，
因此BC⊥平面PAC，
又由于AD⊂平面PAC，因此BC⊥AD，
由于PA＝AC，且D为PC的中点，
因此AD⊥PC，
又由于PC∩BC＝C，且BC，PC⊂平面PBC，
因此AD⊥平面PBC，
由于PB⊂平面PBC，因此AD⊥PB．
（2）根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则PA＝AC＝BC＝3，
可得，C（0，3，0），B（3，3，0），A（0，0，0），P（0，0，3），
所以，，
由于G在线段PB上，令，
且0＜λ＜1，
那么，
由于，
所以，因此，
因此H（2，2，1），G（1，1，2），
所以，，，
设平面ADH的法向量为，那么
令y＝1，可得，z＝﹣1，所以，
设平面ADG的法向量为，那么
令y＝1，可得z＝﹣1，x＝1，因此，
设平面ADG与平面ADH的夹角为θ，
可得，
故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为．
18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1有两个零点x1，x2（x1＜x2），函数．
（1）解不等式g（x）＞0；
（2）求实数a的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）（1，+∞）；
（2）{a|0＜a＜1}；
（3）证明见解析．
【分析】（1）由导函数恒大于等于0可知g（x）为（0，+∞）上的增函数，得出不等式解集；
（2）求导函数，分类讨论参数a，当a≤0时，函数单调不合题意；当a＞0时，函数不单调，需要利用零点存在思想建立不等式，求出实数a的取值范围；
（3）由（2）知道两根的范围，借助g（x）的在（0，1）上小于0，得到，同理得到，两式整理后相加便可得到结论．
【解答】解：（1）因为，
则，
故g（x）为（0，+∞）上的增函数且g（1）＝0，
∴g（x）＞0＝g（1）的解集为（1，+∞）．
（2），
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，不符合题意；
a＞0时，时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又x→0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．
∵f（x）有两个零点，
故，
解得0＜a＜1，
故a的范围为（0，1）；
（3）证明：由（2）知：，且ax1﹣lnx1﹣1＝0，
∴ax1＝lnx1+1＝lnax1+1﹣lna，
由（1）知0＜x＜1时，，∴，
∵0＜ax1＜1，故，
∴，
化为 ①，
同理：ax2＝lnax2+1﹣lna，
，
可化为 ②，
②+①得：
化简得：．
19．（17分）定义数列{an}为“阶梯数列”：，，，…，．
（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；
（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；
（3）证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据阶梯数列的形式结构求解；
（2）作差a2k+1﹣a2k﹣1，运算可得，累乘可得，得证；
（3）作差，可得，再证明，可得，累乘可得，得证．
【解答】解：（1）由阶梯数列的定义：，，，…，，
可得a2＝，a3＝，…，．
（2）证明：根据题意，由（1）的结论，，
又由a1＝1＞0，则0＜an≤1，
a2k+1＝，a2k＝，a2k﹣1＝，a2k﹣2＝，
则
＝，
变形可得：，
同理，
变形可得：，
即，
由，，
∴a2k+1﹣a2k﹣1＜0，
故对k∈N*，{a2k﹣1}为递减数列．
（3）证明：由（1）的结论，，
即有ak+2＝，ak+1＝，a2k+2＝，a2k＝，
则，
∴，
又对，
由（2）知a2k﹣1﹣a2k+1＞0，
故，
又，1≥an＞0，
所以，
故对，
∴，
∴，
∴，
当k＝1时，，
综上可得：。