人教版（2024）八年级下册19.2.2 一次函数优秀精练

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1.理解一次（正比例）函数的定义；
2.掌握一次（正比例）函数的图象与性质；
3.掌握一次函数图象的平移；
4.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、不等式之间的关。
知识点01 一次函数与正比例函数的概念
【知识点】
1.一次函数与正比例函数的概念
1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。
【知识拓展1】一次函数的概念
例1．（2022·湖南·衡阳市八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【详解】解：是一次函数；是一次函数；
，自变量x次数为2，不是一次函数；
，自变量x不能做分母，不是一次函数．一次函数有个，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
【即学即练】
1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．
【知识拓展2】正比例函数的概念
例2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数且k≠0），即可解答．
【详解】解：A、y=-2x，是正比例函数，故该选项符合题意；
B、y=x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故该选项不符合题意；
C、y2=x，不是正比例函数，故该选项不符合题意；
D、y=，不是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·河南·鹿邑县八年级期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】A．，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝-x，y是x的正比例函数，故B符合题意；
C．y＝x+1，y不是x的正比例函数，故C不符合题意；
D．，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
【知识拓展3】一次函数定义（含参问题）
例3．（2022·河北·原竞秀学校八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．0
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义即可求出结果．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，解得，故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，属于基础题目，熟悉正比例函数的定义是解题的关键，自变量x的系数不等于0是易错点．
【即学即练】
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠-3B．m≠1C．m≠0D．m为任意实数
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义进行解答．
【详解】解：根据题意，，解得．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义．
【知识拓展4】实际背景下的一次（正比例）函数概念
例4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（ ）
A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化
D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；
B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；
C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；
D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数
【即学即练】
4．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
知识点02 一次（正比例）函数的图象与性质
【知识点】
1.一次（正比例）函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）；
4）过象限、增减性
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。
2. 一次函数的平移与位置关系
1）一次函数与的位置关系：
两直线平行且 两直线垂直
2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
【知识拓展1】过象限问题
例1．（2022·山东·邹平市八年级期中）已知，则直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性即可得出a、b的值，将其代入直线解析式中，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出该直线经过的象限，此题得解．
【详解】解：∵|a+1|0，∴，即，∴直线y＝ax﹣b＝﹣x﹣2，
∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴直线y＝ax﹣b经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，解题的关键是求出a、b的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据绝对值以及算术平方根的非负性求出一次函数解析式是关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建福州·八年级期末）直线不经过的象限是（ ）
A．第一B．第二C．第三D．第四
【答案】C
【分析】根据一次函数的图像和性质即可得答案．
【详解】解：由一次函数得，
，
直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点，能熟练画出大致图像是解题关键．
2．（2022·河北保定·八年级期末）写出一个图象位于第二、四象限的正比例函数的解析式是______．
【答案】y=-x
【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
【详解】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=-x（答案不唯一）．故答案为：y=-x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象经过二、四象限．
【知识拓展2】增减性判断
例2．（2022·安徽巢湖·八年级期末）下列函数的图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝xB．y＝﹣xC．y＝x＋1D．y＝﹣x﹣1
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质依次分析进行解答即可．
【详解】解：、的图象经过第一、三象限，且随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、的图象经过第二、四象限，且随的增大而减小，故选项正确，符合题意；
、的图象经过第一、二、三象限，且随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、的图象经过第二、三、四象限，且随的增大而减小，故选项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
【即学即练2】
2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）已知一次函数y＝（m＋2）x＋1，函数y的值随x值的增大而减小，则常数m的取值可以是_____________．（只需要写一个满足条件的常数m）
【答案】﹣3（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质可知：m＋2＜0，求得m＜﹣2，只需要写出一个符合此条件的m的值即可．
【详解】解：∵一次函数y＝（m＋2）x＋1，函数y的值随x值的增大而减小，
∴m＋2＜0，∴m＜﹣2，∴m的值可以是﹣3，故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数图像与系数之间的关系．
3．（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______．
【答案】
【分析】设一次函数解析式为y＝kx＋b，根据函数的性质得出，k< 0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
【详解】解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，
∵函数的图象经过点(0,-2)，
∴ ，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
当取k=−1时，一次函数表达式为：，
∴满足上述性质的一个函数表达式为：（答案不唯一）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．
【知识拓展3】增减性的运用-比大小
例3．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（ ）
A． B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性性质判定即可．
【详解】∵直线的，∴随的增大而减小，
∵，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性性质．
【即学即练】
3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性即可判断出答案．
【详解】解：，，y随x的增大而增大，
，．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是关键．
4．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性判定即可．
【详解】解：由知，函数值y随x的增大而减小，
∵3>-1>-2，，，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=-20解得m>2，故选A．
【点睛】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据性质列式求解．
6．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正比例函数的性质得到2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵点，在正比例函数y=（2m-1）x的图象上，且当时，有，
∴y随x的增大而增大，
∴2m-1＞0，解得m＞．故选：D．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．
【知识拓展5】一次函数的平移问题
例5．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象左右平移时解析式的变化规律求解．
【详解】将直线向左平移5个单位长度，
得，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题关键是理解一次函数图象左右平移时解析式的变化规律．
【即学即练】
5．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可．
【详解】解：将直线l1：y＝3x向上平移2个单位得到直线l2：y＝3x＋2．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键．
6．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线向左平移1个单位长度后，其直线解析式为，即．故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则．
【知识拓展6】一次函数的图象问题
例6．（2022·山东济宁·八年级期末）在同一坐标系中，函数y＝2kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数和一次函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，两者不一致，则此项不符合题意；
B、函数的函数值随的增大而增大，函数的图象经过原点，则此项不符合题意；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，且随的增大而增大，两者一致，则此项符合题意；
D、函数的图象经过原点，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图象与性质是解题关键．
【即学即练】
6．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．
【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，
∴当x≤4时，（x+2）（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，即：y=3，
当x+20，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k0成立即直线y＝kx+b的图像在x轴上方，
由图可知，当时，kx+b>0．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能够准确识图，找出符合不等式的图像的部分是解答本题的关键．
4．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）如图，已知一次函数y1＝k1x+b；与y2＝k2x+b2交于点A，根据图象回答，y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【答案】C
【分析】观察函数图象，找出在上方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象得：当x＜﹣1时，在上方，即，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上方时对应的x的取值范围．
5．（2022·湖北通城·八年级期末）直线经过的象限是（ ）
A．三、二、一B．三、四、一C．二、三、四D．二、一、四
【答案】A
【分析】根据“对于一次函数，当时，图象经过一、二、三象限；当时，图象经过一、三、四象限；当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限．”分析选择即可．
【详解】∵中，，∴该直线经过一、二、三象限．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象与系数关系的四种情况是解答本题关键．
6．（2022·广西南宁·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是过原点的射线B．直线经过第一、二、三象限
C．函数，随增大而增大D．函数，随增大而减小
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，故A不符题意；
B、直线经过第一､二､四象限，则此项说法错误，故B不符题意；
C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，故C符合题意；
D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，故D不符题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
7．（2022·河北邢台·八年级期中）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：在中，，随x的增大而减小，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键．
8．（2022·成都市 ·八年级专题练习）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（ ）
A．（2，0）B．（0，3）C．（4，0）D．（2，5）
【答案】A
【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0，即x＝2，y＝0，
∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0），故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
9．（2022·山东威海·七年级期中）两个一次函数的图像如图所示，依据图中的信息，下列方程组的解满足交点P的坐标的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据坐标系中点的坐标，运用待定系数法确定一次函数的解析式，解析式构成的方程组就是所求．
【详解】如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，解得，故直线AB的解析式为即；
设直线CD的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，
故直线CD的解析式为即；故符合题意的方程组为，故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）函数y＝-5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．
【答案】-1
【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得a+1=0，解出即可．
【详解】解：∵函数y=-5x+a+1是正比例函数，∴a+1=0，解得：a=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
11．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．
【答案】2
【分析】根据一次函数图象上下平移时函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为，即．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知图象上下平移时，函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
【答案】D
【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意；
B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意；
C选项，∵ah=S，∴a=，故该选项不符合题意；
D选项，y=60x，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键．
2．（2022·广东云浮·八年级期末）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图像必经过点B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A． 当x=1时，y=−3x+6=3，则点不在函数的图象上，所以A选项错误；
B． k=−30，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项错误；
C．当时，所以C选项正确；D． y随x的增大而减少，所以D选项错误．故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b