人教版初中数学九年级上册同步讲与练第08课 一元二次方程章末复习（2份，原卷版+教师版）
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第08课 一元二次方程章末复习目标导航知识精讲知识点01 一元二次方程相关概念知识点02 一元二次方程的相关应用【1】握手（送礼）问题解题技巧：有2种类型①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为；①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为；【2】传染问题解题技巧：有2种类型（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。【3】平均增长率问题解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。发现规律： = 1 \* GB3 ①增长时：b=a（1+p）n； = 2 \* GB3 ②减少时：b=a（1−p）n注： = 1 \* GB3 ①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2； = 2 \* GB3 ②通常设增长（下降）率为x； = 3 \* GB3 ③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。【4】图形问题能力拓展考法01 一元二次方程相关概念与解法1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5【答案】C【解析】解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意；D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；故选：C．2．若是方程的一个根，则a的值为（ ）A．-1 B．0 C．11 D．2【答案】B【解析】解：将代入方程中，可得即故选：B．3．已知方程有一个根是（），则下列代数式的值恒为1的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：设该方程的另外一个解为，，，将代入可得：，，故选：.4．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（ ）A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定【答案】C【解析】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0 解得：y1＝﹣3，y2＝1当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时 方程无解则x2+3x的值为1故选C5．方程化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________．【答案】 1 【解析】解：方程整理得：即为∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4，故答案为： ①；② 1；③ -5；④-4.6．解方程：(1)x2﹣4x﹣5＝0；(2)3x2﹣1＝2x+2【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1(2)【解析】 (1)解：x2﹣4x﹣5＝0（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；(2)解：3x2﹣2x﹣3＝0，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴，∴．7．解方程(1)x2﹣4x＝0；(2)4x2﹣25＝0；(3)2x(x﹣3)+x＝3．【答案】(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5；(3)x1＝3，x2＝【解析】(1)解：x2﹣4x＝0x（x﹣4）＝0；x＝0或x﹣4＝0；所以x1＝0，x2＝4；(2)解：4x2﹣25＝0（2x+5）（2x﹣5）＝0，2x+5＝0或2x﹣5＝0，所以x1＝-2.5，x2＝2.5；(3)解：2x(x﹣3)+x＝3将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；（x﹣3）（2x+1）＝0；x﹣3＝0或2x+1＝0；所以x1＝3，x2．8．解下列方程：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），【解析】解：（1）196x2－1 ＝ 0，移项，得196x2＝ 1，直接开平方，得14x＝，x＝，∴原方程的解为，． （2），原方程化为，，∴或，∴，． （3），∵，，，∴>0，∴，，．（4），原方程化为，∵，，，∴>0，∴ ，∴，．（5），原方程化为，因式分解，得，∴或，∴，．（6），原方程化为，∴或，∴，．（7）原方程化为，∵，，，∴>0，∴，∴，． （8），原方程化为，∴或，∴，．9．求下列方程两个根的和与积：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【解析】解：（1）设方程的两根为，，则， ． （2）设方程的两根为，，则，．（3）原方程化为，设方程的两根为，，则，． （4）原方程化为，设方程的两根为，，则，．10．解下列方程：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）x1＝0，x2＝－1；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝x2＝1；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝1，x2＝3【解析】解：（1）x（x＋1）＝0，x＝0或x＋1＝0，∴x1＝0，x2＝−1；（2），，x＝0或＝0，∴x1＝0，x2＝2；（3），，，∴x1＝x2＝1；（4）（2x＋11）（2x−11）＝0，2x＋11＝0或2x−11＝0，∴x1＝，x2＝；（5）（2x＋1）（3x−2）＝0，2x＋1＝0或3x−2＝0，∴x1＝，x2＝；（6）（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0，（1−x）（3x−9）＝0，1−x＝0或3x−9＝0，∴x1＝1，x2＝3．11．填空：（1）+______=（x+________）2；（2）+______=（x-________）2；（3）+______=（x+________）2；（4）+______=（x-________）2．【答案】 25 5 36 6 【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；故答案为25；5；36；6；；；；．12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．【答案】【解析】 x2＋2x－3＝0 m是方程x2＋2x－3＝0的实根 或 故答案为：．13．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ．【答案】k＜9，且【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴， ，∴k＜9且．故答案为：k＜9，且考法02 一元二次方程的实际应用14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．【答案】14【解析】解：，（x-2）（x-6）=0，x1=2，x2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．15．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是_____．【答案】12【解析】解：第1个图象有1个小圆，第2个图象有1+2＝3个小圆，第3个图象有1+2+3＝6个小圆，第4个图象有1+2+3+4＝10个小圆，第n个图象有1+2+3+…+n＝个小圆，∵第n个图形中“〇”的个数是78，∴＝78，解得n＝12，或n＝﹣13（不符合题意，舍去）故答案为12．16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．【答案】24【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），整理得：3x2-5x-2=0，解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），∴x+2=4，∴这个两位数为24．17．一个矩形的长和宽相差，面积是．求这个矩形的长和宽．【答案】这个矩形的长为4 cm，宽为l cm【解析】解：设矩形的宽为cm，则长为（） cm由矩形面积公式可知，整理得，解得，．因为矩形的边长不能是负数，所以不符合题意，舍去，所以．所以．答：这个矩形的长为4 cm，宽为1cm ．18．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．【答案】10%．【解析】解：设这两年的平均增长率为x，由题意得：，解得：（不合题意舍去），．答：这两年的平均增长率为10%．19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？【答案】用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）【解析】解：设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m，根据题意，得，整理得，，解得，．答：用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）．20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【答案】6【解析】设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛.21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图．【答案】见解析【解析】解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得，整理，得，解得，．因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）．这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）．22．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形．【答案】见解析【解析】解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm，根据题意，得，整理，得，解得，．因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，，．画出这个直角梯形如图所示．23．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？【答案】1.8，1.4【解析】解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是．设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得：．整理，得．解方程，得．∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．24．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长．【答案】这两条直角边为，．【解析】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得：x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8．当x1=6时，14﹣x=8；当x2=8时，14﹣x=6；答：两条直角边的长分别为，．25．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．【答案】－14，－12或12，14．【解析】解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意，得：x(x＋2)＝168，∴x2＋2x－168＝0，∴ x1＝－14，x2＝12．当x＝－14时，x+2＝－12；当x＝12时，x+2＝14．答：这两个偶数分别是－14，－12或12，14．26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【答案】9．【解析】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），答：每个支干长出9小分支．27．一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长．【答案】菱形的周长是cm．【解析】解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：(10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6．当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4，所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm．由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm．答：菱形的周长是cm．28．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？【答案】共有10个队参加比赛．【解析】设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．故共有10个队参加比赛．29．青山村种的水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为．【解析】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有：7200(1＋x)2＝8450．解得x＝或x＝（舍）．答：水稻每公顷产量的年平均增长率为．30．要为一幅长，宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？【答案】镜框边的宽度约是1.5cm．【解析】解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得：(29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22，整理，得8x2＋204x－319＝0，解得x＝，所以，，因x＝
