人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角精品同步练习题

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知识精讲
知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1．圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样 叫做圆心角．
2．定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等．
3．推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．
【注意】
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
(2)注意定理中不能忽视“ ”这一前提.
知识点02 圆周角
1．圆周角定义
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 ．
3．圆周角定理的推论
半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在 中.
4．圆内接四边形
(1)定义: 圆内接四边形： ，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形 ，外角等于 (即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5．弦、弧、圆心角、弦心距的关系
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等。(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
能力拓展
考法 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】下列命题中，正确的是（ ）
A．和半径垂直的直线是圆的切线B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【即学即练】下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【典例2】如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【即学即练】如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例3】如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
【即学即练】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
分层提分
题组A 基础过关练
1．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70°B．60°C．40°D．35°
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BEB．CE=DEC．AC=BCD．AD=BD
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
8．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5B．15
C．16D．18
6．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1B．C．3D．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．
8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为_______．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．25C．D．
4．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A．B．C．4D．3
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC =70°B．∠BAD =80°C．CE =CDD．CE =AE
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
8．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为______．
9．如图，上依次有，，，四个点，弧弧，连接，，，延长到点，使，连接，是的中点，连接，求证：．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
课程标准
（1）了解圆心角、圆周角的概念；
（2）理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
（3）掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．