湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年湖北省宜昌市宜都市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题3分，满分30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）关于x一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，23．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx﹣3＝0的一个解为x＝1，则m的值为（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（3分）函数y＝3（x+2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）5．（3分）△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（　　）A．旋转中心是点C B．AC＝EC C．∠BCA＝∠DCE D．点D是AC中点6．（3分）用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（　　）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝247．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k上的三点，则（　　）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y38．（3分）若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（　　）A．2（1+x）2＝6.62 B．2+2（1+x）2＝6.62 C．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+x+x2＝6.629．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则方程的根是（　　）A．1、﹣3 B．1、3 C．﹣1、3 D．无法确定10．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤4时，y有最大值2．则a的值为（　　）A． B．1 C．﹣1 D．二、填空题（共5题，每题3分，满分15分）11．（3分）抛物线的开口方向为　 　．（填“向上”或“向下”）12．（3分）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为 　 　．13．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为 　 　．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列4个结论：①abc＞0；b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确结论是 　 　（写序号）．15．（3分）如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD+CD＝m（m＞0），将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC，连接BD，当线段BD的最小值是时，m的值是 　 　．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数．18．（6分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+4．（1）开口向 　 　，顶点坐标是 　 　，对称轴是 　 　，当x＜﹣1时，y随x的增大而 　 　；（2）若﹣1≤x≤4，求y的取值范围．19．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知点C（m，m）在第一象限，若点C与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足，求实数k的值．21．（8分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）以点A1为旋转中心，画出把△A1B1C1逆时针旋转90°得到的△A1B2C2；（3）若△ABC绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B2C2，请直接写出旋转中心D的坐标．22．（10分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）若外墙的长为36m，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）设墙长为a米，若要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为　 　（直接写结果）．23．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）如图1，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C，求的值；（2）如图2，点E在△ABC的外部，且AF＝AE，∠EAF＝120°，若2∠BEC﹣∠AEB＝270°，求证：．24．（12分）综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作EM∥y轴，交BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求点E的坐标；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．2024-2025学年湖北省宜昌市宜都市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题3分，满分30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．2．（3分）关于x一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：方程3x2﹣2x+5＝0中，二次项系数为3，一次项系数为﹣2，故选A．3．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx﹣3＝0的一个解为x＝1，则m的值为（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【分析】将x＝1代入mx2+2mx﹣3＝0中即可得到答案．【解答】解：由条件可知：m+2m﹣3＝0，∴3m＝3，解得：m＝1，故选：C．4．（3分）函数y＝3（x+2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）【答案】B【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点为：（h，k），进行判断即可．【解答】解：函数图象的顶点坐标是（﹣2，4）；故选：B．5．（3分）△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（　　）A．旋转中心是点C B．AC＝EC C．∠BCA＝∠DCE D．点D是AC中点【答案】D【分析】根据旋转的定义及性质即可求解．【解答】解：∵△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，∴旋转中心是点C，AC＝CE，∠BCA＝∠ECD，点D不一定AC的中点，∴A、B、C结论正确，D结论错误．故选：D．6．（3分）用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（　　）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝24【答案】A【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可．【解答】解：∵x2+4x＝1，两边加上4可得x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故选：A．7．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k上的三点，则（　　）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3【答案】A【分析】依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点A，B，C与对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：由题意，∵y＝﹣（x+1）2+k，∴开口向下，对称轴为直线x＝﹣1．∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，∴y3＜y2＜y1．故选：A．8．（3分）若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（　　）A．2（1+x）2＝6.62 B．2+2（1+x）2＝6.62 C．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+x+x2＝6.62【答案】C【分析】根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可．【解答】解：设该增长率为x，根据题意可得出2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62，故选：C．9．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则方程的根是（　　）A．1、﹣3 B．1、3 C．﹣1、3 D．无法确定【答案】A【分析】分别把x＝1或x＝﹣3代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＝0，所以方程的根分别为1或﹣3．故选：A．10．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤4时，y有最大值2．则a的值为（　　）A． B．1 C．﹣1 D．【答案】B【分析】先求出对称轴，根据增减性确定a的符号，再根据最值求出a的值即可．【解答】解：由解析式可知：对称轴为直线，∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的开口向上，∴a＞0，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵﹣1≤x≤4，|﹣1﹣2|＞|4﹣2|，∴当x＝﹣1时，y有最大值为a+4a+3a2﹣6＝2，解得：a＝1或（舍去）；故选：B．二、填空题（共5题，每题3分，满分15分）11．（3分）抛物线的开口方向为　下　．（填“向上”或“向下”）【答案】向下．【分析】由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论．【解答】解：由，∴二次函数图象开口向下．故答案为：向下．12．（3分）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为 　1　．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，∴，∴m＝1，故答案为：1．13．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为 　y＝（x﹣3）2+2　．【答案】y＝（x﹣3）2+2．【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．【解答】解：平移后所得的抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2，故答案为：y＝（x﹣3）2+2．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列4个结论：①abc＞0；b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确结论是 　③④　（写序号）．【答案】③④．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可得a，b，c的符号及a与b的关系，函数图象与x轴有两个交点，由图象可得x＝3时y＜0，x＝1时函数取最大值，逐一分析判断各结论即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，且抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，b＝﹣2a＞0．∴abc＜0，故结论①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故结论②错误；由图象可知，对称轴是直线x＝1，∴当x＝3时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等．∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，又∵b＝﹣2a，∴a＝﹣．∴9×（﹣）+3b+c＜0，∴2c＜3b，故结论③正确；∵当x＝m（m≠1）时，可有y＝am2+bm+c，当x＝1时函数值为y＝a+b+c，又∵x＝1时函数取最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b）（m≠1）．又∵b＞0，∴a+2b＞a+b＞am2+bm＝m（am+b）（m≠1），故结论④正确．综上所述，结论正确的有③④．故答案为：③④．15．（3分）如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD+CD＝m（m＞0），将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC，连接BD，当线段BD的最小值是时，m的值是 　　．【答案】见试题解答内容【分析】如图所示，将CD绕点C逆时针旋转90°得CE，连接AE，过点E作EF⊥AD于点F，可证△ACE≌△BCD（SAS），可得BD＝AE，即BD的最小值就是AE的最小值，设CD＝DF＝EF＝CE＝a，则AF＝m﹣2x，在Rt△AEF中，运用勾股定理可得，根据二次函数求最值的方法可得当时，AE2有最小值，且最小值为，则，可得，由此即可求解．【解答】解：如图所示，将CD绕点C逆时针旋转90°得CE，连接AE，过点E作EF⊥AD于点F，∴∠EFD＝∠FDC＝∠DCE＝90°，CD＝CE，∴四边形CDFE是正方形，∴CD＝DF＝EF＝CE，∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，根据旋转可得AC＝BC，且CE＝CD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，即BD的最小值就是AE的最小值，设CD＝DF＝EF＝CE＝a，∵AD+CD＝m，∴AF＝AD+CD﹣CD﹣DF＝m﹣2x，在Rt△AEF中，，∵5＞0，∴当时，AE2有最小值，且最小值为，则，∵AE＝BD，∴AE的最小值即为BD的最小值，即，∴，故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．【答案】见试题解答内容【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：x2﹣7x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝53，x＝，x1＝，x2＝．17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数．【答案】见试题解答内容【分析】由旋转得BA＝BD，通过等腰三角形及直角三角形可求∠ADE度数；【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，∴∠CAB＝40°．∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上，∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．18．（6分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+4．（1）开口向 　上　，顶点坐标是 　（1，2）　，对称轴是 　直线x＝1　，当x＜﹣1时，y随x的增大而 　小　；（2）若﹣1≤x≤4，求y的取值范围．【答案】（1）上，（1，2），直线x＝1，小；（2）2≤y≤20．【分析】（1）由y＝2x2﹣4x+2+2＝2（x﹣1）2+2，即可求解；（2）若﹣1≤x≤4，则x＝4函数取得最大值，抛物线在顶点处取得最小值，即可求解．【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+2+2＝2（x﹣1）2+2，则抛物线的开口向上，顶点坐标为：（1，2），对称轴为直线x＝1，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故答案为：上，（1，2），直线x＝1，小；（2）由（1）知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，若﹣1≤x≤4，则x＝4函数取得最大值，当x＝4时，y＝2x2﹣4x+4＝20，抛物线在顶点处取得最小值，为2，即y的取值范围2≤y≤20．19．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知点C（m，m）在第一象限，若点C与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣6．（2）m＝6，D（﹣2，6）．【分析】（1）用待定系数法（将图象上两点坐标代入解析式即可）；（2）将点C（m，m）代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9），得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x﹣6．（2）∵点C（m，m）函数图象上，∴m＝m2﹣4m﹣6，解得：m1＝﹣1，m2＝6，∵m＞0，∴m1＝﹣1舍去，∴m＝6．∵点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线x＝2，∴D（﹣2，6）．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足，求实数k的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）由△≥0得，（2k﹣3）2﹣4（k2﹣1）≥0，解得；（2）∵，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝1，∵x1+x2＝﹣（2k﹣3），，∴（2k﹣3）2﹣（k2﹣1）＝1，解得：k1＝1，k2＝3，∵，∴k＝1．21．（8分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）以点A1为旋转中心，画出把△A1B1C1逆时针旋转90°得到的△A1B2C2；（3）若△ABC绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B2C2，请直接写出旋转中心D的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）（4，1）．【分析】（1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形；（2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形；（3）连接对应点并做对应的垂直平分线即可求得旋转中心．【解答】解：（1）△A1B1C1如图1，；（2）△A1B2C2如图2，（3）如图3，旋转中心D的坐标为（4，1）．22．（10分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）若外墙的长为36m，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）设墙长为a米，若要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场，则a的最小值为　40　（直接写结果）．【答案】（1）长为32m，宽为20m；（2）不能，理由见解析；（3）a的最小值为40．【分析】（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意列出一元二次方程，解方程并结合外墙长度即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解；（3）根据（1）的结果可知，AD长的两种可能结果是32米与40米，故要确保能建两种长宽不同的长方形鸡场，a的最小值应取较大的值40．【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640．化简，得x2﹣36x+320＝0．解得x1＝16，x2＝20．当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40＞36，故不合题意舍去．当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：当羊圈的长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；（2）不能，理由如下：由题意，得x（72﹣2x）＝650．化简，得x2﹣36x+325＝0．∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2；（3）由（1）可知，当AB＝16时，AD＝40；当AB＝20时，AD＝32，故要确保能建面积为640m2的两种长宽不同的长方形鸡场时，a的最小值为40．23．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）如图1，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C，求的值；（2）如图2，点E在△ABC的外部，且AF＝AE，∠EAF＝120°，若2∠BEC﹣∠AEB＝270°，求证：．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，由角的数量关系可求∠ABC＝30°，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质可得BD＝2AD＝2CD，即可求解；（2）将AE绕点A逆时针旋转120°，得到AF，过点A作AH⊥EF于H，由等腰三角形的性质可求EF＝AE，由“SAS”可证△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠AFC，BE＝CF，由角的数量关系可证∠FEC＝∠FCE，可证EF＝CF＝BE＝AE．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠ADB＝2∠C，∴∠ADB＝60°，∴∠BAD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C，∴AD＝CD，∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD＝2CD，∴；（2）证明：如图2，将AE绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接CF，EF，过点A作AH⊥EF于H，∴AE＝AF，∠EAF＝120°，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∵AH⊥EF，∴AH＝AE，FH＝EH，EH＝AH，∴EF＝AE，∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠BEA＝∠AFC，BE＝CF，设∠BEA＝∠AFC＝x，∴∠FEC＝∠BEC﹣x﹣30°，∵2∠BEC﹣∠AEB＝270°，∴∠BEC＝135°+，∴∠FEC＝105﹣，∵∠EFC＝∠AFC﹣∠AFE＝x﹣30°，∴∠FEC＝180°﹣（x﹣30°）﹣（105﹣）＝105°﹣，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝BE＝AE．24．（12分）综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作EM∥y轴，交BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求点E的坐标；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）点 E的坐标为 ；（3）存在，点N的坐标为（9，0）或（1，0）或（﹣1，10）．【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，设点E（m，﹣m2+4m+5），则点M（m，﹣m+5），由，求得，即可求解；（3）先求得抛物线的对称轴为直线：x＝2，再求得D（4，5），分两种情况根据平移的性质即可求解．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）∵c＝5，∴C（0，5），设直线BC的解析式为：y＝dx+n，将点C（0，5），B（5，0）代入y＝dx+n中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，设点E（m，﹣m2+4m+5），则点M（m，﹣m+5），∴，解得：，此时，，∴点 E的坐标为 ；（3）在平面直角坐标系内存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：由题意，可知抛物线的对称轴为直线：，∵CD∥x轴，点C（0，5），∴D（4，5），∴CD＝4，∵点C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图： ①当CD为边时，点D（4，5）由点C（0，5）向右平移4个单位长度，∴点B（5，0）向右平移4个单位长度得到N1，∴四边形CBN1D是平行四边形，∴N1（9，0）；点C（0，5）由点D（4，5）向左平移4个单位长度，∴点B（5，0）向左平移4个单位长度得到N2，∴四边形CN2BD是平行四边形，∴N2（1，0）；②当CD为对角线时，点D（4，5）由点B（5，0）向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，∴点C（0，5）向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到N3，则四边形CBDN3是平行四边形，∴N3（﹣1，10），综上所述，点N的坐标为（9，0）或 （1，0）或（﹣1，10）。