福建省泉州市惠安县惠东五校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市惠安县惠东五校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）4的平方根是（　　）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．（4分）下列各数中是无理数的是（　　）A．3.14 B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（　　）A．4a2﹣2a2＝2 B．（a2）3＝a6 C．a2a3＝a6 D．a3+a2＝a54．（4分）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．DC＝BE5．（4分）下列语句中不属于命题的是（　　）A．两直线平行，内错角相等 B．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线AC6．（4分）已知x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）A．﹣8 B．±4 C．8 D．±87．（4分）估算+2的值是在（　　）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间8．（4分）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（1﹣5m）（5m﹣1） C．（3x﹣5y）（3x+5y） D．（a+b）（﹣a﹣b）9．（4分）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（　　）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α10．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②BD+AG＝AB；③AD＝OE+OF；④S△ACD：S△ABD＝CD：BD．其中正确的结论是（　　）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）﹣8的立方根是 　 　．12．（4分）比较大小：3 　 　（填写“＜”或“＞”）．13．（4分）如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件 　 　．14．（4分）若ab＝﹣3，a+b＝﹣2，则a2b+ab2的值是 　 　．15．（4分）把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：　 　．16．（4分）若x2﹣5x+1＝0，求（1）＝ 　 　；（2）＝ 　 　．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：．18．因式分解：①x2﹣9；②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．19．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（a+b）（3a﹣b），其中a＝2，b＝﹣1．20．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE．21．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a+4．（1）求x和a的值；（2）求6x﹣10a的立方根．22．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：　 　．②计算：52023×（﹣0.2）2022．23．如图△ABC，延长BA至点E，BD平分∠ABC，AD平分∠EAC．（1）求证：∠ACB＝2∠ADB；（2）连接DC，判断AB+AC与BD+DC的大小关系，并说明理由．24．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：【直接应用】（1）若，xy＝2，求x2+y2的值；【类比应用】（2）若（x﹣3）（x﹣4）＝1，求（x﹣3）2+（4﹣x）2的值；以下是亮亮同学的解法：解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12＝1，∴x2﹣7x＝﹣11，∵（x﹣3）2+（4﹣x）2＝x2﹣6x+9+16﹣8x+x2＝2x2﹣14x+25，∴（x﹣3）2+（4﹣x）2＝2（x2﹣7x）+25＝2×（﹣11）+25＝3．爱动脑筋的琪琪同学看了亮亮同学的解法后，灵机一动说到：“我还有其它不同的解法．”请你结合材料，类比第（1）题进行解答；【知识迁移】（3）两块形状大小都相同的直角梯形（∠AOC＝∠BCO＝∠DOF＝∠EFO＝90°），如图2所示放置，其中A、O、F三点在同一直线上，连接AD、CF．若AF＝14，每一个直角梯形的面积为69，且下底是上底的2倍，求△AOD与△COF的面积之和．25．如图①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a cm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接AM、MN，设移动时间为t（s）．（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 　 　s；（2）当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求t的值；（3）如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．2024-2025学年福建省泉州市惠安县惠东五校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）4的平方根是（　　）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．2．（4分）下列各数中是无理数的是（　　）A．3.14 B． C． D．【分析】根据无理数的定义判断即可．【解答】解：A．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；B．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C．是无理数，故本选项符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了无理数以及算术平方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．3．（4分）下列运算正确的是（　　）A．4a2﹣2a2＝2 B．（a2）3＝a6 C．a2a3＝a6 D．a3+a2＝a5【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．【解答】解：A、4a2﹣2a2＝2a2，故本选项错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a2•a3＝a5，故本选项错误；D、a3+a2≠a5，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．4．（4分）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．DC＝BE【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或AD＝AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．【解答】解：A、当∠B＝∠C时，符合ASA的判定条件，故不合题意；B、当∠ADC＝∠AEB时，符合AAS的判定条件，故不合题意；C、当AD＝AE时，符合SAS的判定条件，故不合题意；D、当DC＝BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的依据．5．（4分）下列语句中不属于命题的是（　　）A．两直线平行，内错角相等 B．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线AC【分析】判断一件事情的句子叫做命题，据此逐项判断即得答案．【解答】解：A、两直线平行，内错角相等是命题；B、如果a+b＝0，那么a、b互为相反数是命题；C、平行于同一条直线的两条直线互相平行是命题；D、过点A作射线AC不是命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理，相反数，平行公理及推论，熟知命题的概念是关键．6．（4分）已知x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）A．﹣8 B．±4 C．8 D．±8【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【解答】解：∵x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，∴k＝±8，故选：D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（4分）估算+2的值是在（　　）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【分析】先估计的近似值，然后即可判断+2的近似值．【解答】解：由于16＜19＜25，所以4＜＜5，因此6＜+2＜7．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．8．（4分）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（1﹣5m）（5m﹣1） C．（3x﹣5y）（3x+5y） D．（a+b）（﹣a﹣b）【分析】原式利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：（3x﹣5y）（3x+5y）＝9x2﹣25y2，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（4分）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（　　）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，进一步可得∠CDE＝90°，∠ACD＝45°，即可求出∠ACE的度数．【解答】解：∵△ADB≌△CDE，∴∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠DCE＝α，∴∠ACE＝45°﹣α，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②BD+AG＝AB；③AD＝OE+OF；④S△ACD：S△ABD＝CD：BD．其中正确的结论是（　　）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长FO交AB于H，通过证明△AOH≌△AOG，△BOD≌△BOH，利用全等的性质来判断②是否正确；通过证明△BOA≌△BOF，利用性质判断③是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解．【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，∴，，∠BOD＝∠ABO+∠BAO＝＝＝45°，故①正确；延长FO交AB于H，如图所示：∴∠AOG＝∠AOH＝90°，又∵∠HAO＝∠GAO，AO＝AO，∴△AOH≌△AOG（ASA），∴AG＝AH，OG＝OH，∴∠BOH＝180°﹣∠BOD﹣∠DOF＝45°，∴∠BOH＝BOD＝45°，∴△BOD≌△BOH（ASA），∴BD＝BH，OH＝OD，∴AB＝AH+BH＝AG+BD，故②正确；∵∠BOA＝∠BOH+∠AOH＝135°，∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝135°，∴∠BOA＝∠BOF，∴△BOA≌△BOF（ASA），∴AO＝OF，∴AD＝AO+OD＝OF+OG，又∵∠OGE＝90°﹣∠F，∠BEC＝90°﹣∠EBC，∴∠OGE≠∠BEC，∴OE≠OG，∴AD＝OF+OG≠OF+OE，故③错误；∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，∴S△ACD：S△ABD＝CD：BD，故④正确；因此正确的有：①②④．故选：A．【点评】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）﹣8的立方根是 　﹣2　．【分析】根据立方根的定义解答即可．【解答】解：﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．12．（4分）比较大小：3 　＞　（填写“＜”或“＞”）．【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．【解答】解：∵3＝，且9＞7，∴3＞，故答案为：＞．【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．13．（4分）如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件 　BO＝DO　．【分析】根据题意和图形，可以得到AO＝CO，∠AOB＝∠COD，然后即可得到△AOB≌△COD需要添加的条件．【解答】解：∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD，∴添加条件BO＝DO，则△AOB≌△COD（SAS），故答案为：BO＝DO．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（4分）若ab＝﹣3，a+b＝﹣2，则a2b+ab2的值是 　6　．【分析】先分解因式，再把ab＝﹣3，a+b＝﹣2代入计算即可．【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝﹣2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×（﹣2）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．15．（4分）把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：　如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数　．【分析】先分清命题“不能被2整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．【解答】解：不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数．故答案为如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．16．（4分）若x2﹣5x+1＝0，求（1）＝ 　5　；（2）＝ 　527　．【分析】（1）先判断x≠0，然后方程两边都除以x即可得解；（2）根据完全平方公式得出，再次根据完全平方公式得出，即可求解．【解答】解：（1）∵x2﹣5x+1＝0，∴x≠0，∴，∴，故答案为：5；（2）由（1），∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：527．【点评】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：．【分析】先求出算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减法即可得到答案．【解答】解：＝＝．【点评】此题考查的是实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．18．因式分解：①x2﹣9；②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】①利用平方差公式分解因式即可；②先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：①x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）；②9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（a+b）（3a﹣b），其中a＝2，b＝﹣1．【分析】本题考查整式的乘法运算，首先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项完成化简，再将点a，b的值代入求解即可．【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣（3a2+2ab﹣b2）＝a2﹣6ab+2b2，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝4+12+2＝18．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，正确进行化简是解题关键．20．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE．【分析】先证明∠BAD＝∠CAE，然后根据“SAS”可判断△ABD≌△ACE．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．21．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a+4．（1）求x和a的值；（2）求6x﹣10a的立方根．【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案；（2）求出6x﹣10a的值，再由立方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a+4．∴2a﹣1+a+4＝0，解得a＝﹣1，∴2a﹣1＝﹣3，a+4＝3，∴x＝（±3）2＝9，答：a＝﹣1，b＝9；（2）当a＝﹣1，b＝9时，6x﹣10a＝64，∴6x﹣10a的立方根，即64的立方根为＝4．【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．22．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：　an•bn＝（ab）n　．②计算：52023×（﹣0.2）2022．【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；（2）①根据解答过程进行分析即可；②利用所给的方式进行求解即可．【解答】解：（1）∵am＝2，∴a2m+n＝24，∴a2m×an＝24，（am）2×an＝24，22×an＝24，∴4an＝24，∴an＝6；（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n，故答案为：an•bn＝（ab）n；②52023×（﹣0.2）2022＝5×52022×（﹣0.2）2022＝5×（﹣0.2×5）2022＝5×（﹣1）2022＝5×1＝5．【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．23．如图△ABC，延长BA至点E，BD平分∠ABC，AD平分∠EAC．（1）求证：∠ACB＝2∠ADB；（2）连接DC，判断AB+AC与BD+DC的大小关系，并说明理由．【分析】（1）由角平分线定义得∠EAC＝2∠EAD，∠ABC＝2∠ABD，再由三角形的外角性质得∠EAD﹣∠ABD＝∠ADB，∠EAC﹣∠ABC＝∠ACB，即可得出结论；（2）在BA的延长线上截取AM，使AM＝AC，连接MD，证△ADC≌△ADM（SAS），得CD＝MD，则BD+CD＝BD+MD，AB+AC＝AB+AM＝BM，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∠ABC＝2∠ABD，∵∠EAD﹣∠ABD＝∠ADB，∠EAC﹣∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝2∠ADB；（2）解：AB+AC＜BD+DC，理由如下：在BA的延长线上截取AM，使AM＝AC，连接MD，如图所示：∵AD平分∠EAC，∴∠MAD＝∠CAD，在△ADC和△ADM中，，∴△ADC≌△ADM（SAS），∴CD＝MD，∴BD+CD＝BD+MD，AB+AC＝AB+AM＝BM，在△BMD中，BM＜BD+MD，∴AB+AC＜BD+DC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．24．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：【直接应用】（1）若，xy＝2，求x2+y2的值；【类比应用】（2）若（x﹣3）（x﹣4）＝1，求（x﹣3）2+（4﹣x）2的值；以下是亮亮同学的解法：解：∵（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12＝1，∴x2﹣7x＝﹣11，∵（x﹣3）2+（4﹣x）2＝x2﹣6x+9+16﹣8x+x2＝2x2﹣14x+25，∴（x﹣3）2+（4﹣x）2＝2（x2﹣7x）+25＝2×（﹣11）+25＝3．爱动脑筋的琪琪同学看了亮亮同学的解法后，灵机一动说到：“我还有其它不同的解法．”请你结合材料，类比第（1）题进行解答；【知识迁移】（3）两块形状大小都相同的直角梯形（∠AOC＝∠BCO＝∠DOF＝∠EFO＝90°），如图2所示放置，其中A、O、F三点在同一直线上，连接AD、CF．若AF＝14，每一个直角梯形的面积为69，且下底是上底的2倍，求△AOD与△COF的面积之和．【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后利用整体代入的方法计算；（2）先由（x﹣3）（x﹣4）＝1得到（x﹣3）（4﹣x）＝﹣1，再利用完全平方公式得到（x﹣3）2+（4﹣x）2＝[（x﹣3）+（4﹣x）]2﹣2（x﹣3）（4﹣x），然后利用整体代入的方法计算；（3）先判断△OAD和△OCF都是等腰直角三角形，则S△AOD+S△COF＝（OA2+OF2），设OA＝x，则BC＝2x，OF＝14﹣x，利用直角梯形的面积公式得到x（14﹣x）＝46，所以S△AOD+S△COF＝[x2+（14﹣x）2]，接着利用完全平方公式得到x2+（14﹣x）2＝[x+（14﹣x）]2﹣2x（14﹣x），然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：（1）∵x+y＝，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（）2﹣2×2＝1；（2）∵（x﹣3）（x﹣4）＝1，∴（x﹣3）（4﹣x）＝﹣1，（x﹣3）2+（4﹣x）2＝[（x﹣3）+（4﹣x）]2﹣2（x﹣3）（4﹣x）＝1﹣2×（﹣1）＝3；（3）∵直角梯形OABC和直角梯形ODEF形状大小都相同，∴OA＝OD，OC＝OF，∴△OAD和△OCF都是等腰直角三角形，∴S△AOD+S△COF＝OA2+OF2＝（OA2+OF2），设OA＝x，则BC＝2x，OF＝14﹣x，∵每一个直角梯形的面积为69，∴（x+2x）•（14﹣x）＝69，∴x（14﹣x）＝46，∴S△AOD+S△COF＝[x2+（14﹣x）2]，∵x2+（14﹣x）2＝[x+（14﹣x）]2﹣2x（14﹣x）＝196﹣2×46＝104，∴S△AOD+S△COF＝×104＝52．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：灵活运用整体代入的方法可简化计算．也考查了梯形的面积公式．25．如图①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a cm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接AM、MN，设移动时间为t（s）．（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 　5　s；（2）当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求t的值；（3）如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据时间＝计算即可．（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）点M的运动时间t＝＝5（秒），故答案为：5；（2）①∵点M、N的移动速度相同，∴CN＝BM，∵CD∥AB，∴∠NCM＝∠B，∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等，则有12＝20﹣4t，解得t＝2．②∵点M、N的移动速度不同，∴BM≠CN，∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，∴运动时间t＝＝2.5．（3）若点M、N的移动速度不同，则CM＝BM时，两个三角形有可能全等，此时t＝2.5．若点M、N的移动速度相同，则BM＝CN，BP＝CM，∴20﹣4t＝12﹣3t或20﹣4t＝3t﹣12，解得t＝8（舍弃）或，综上所述，满足条件的t的值为2.5或．【点评】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．