广东省深圳市华附集团校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市华附集团校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列是一元二次方程的是（ ）A． B． C． D．2．如图，已知，若，，，则的长为（ ）A．1.5 B．2 C．3 D．4.53．下列命题中正确的是（ ）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形4．如图，矩形中，对角线，交于点．若，，则的长为（ ）A．4 B． C．3 D．55．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）A． B． C． D．6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）A． B．C． D．7．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）A． B． C． D．8．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（ ）A．2 B．3 C． D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．9．若，则______．10．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有______个球．11．已知是方程的一个根，则代数式的值等于______．12．如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为______．13．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．（本小题12分）解方程（1）；（2）；（3）．15．（本小题8分）某校对八年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩分（为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用、、、表示），等级：，等级：，等级：，等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）上表中的______，______，______．（2）本次调查共抽取了______名学生．请补全条形图．（3）若从等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．16．（本小题8分）如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上．（1）在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上；（2）在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上；（3）连接交于点，连出和，并证明．17．（本小题8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接．（1）求证：四边形是矩形．（2）若，，求菱形的面积．18．（本小题7分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）在盈利的同时给顾客最大的实惠，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．19．（本小题9分）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点是上的一个动点，过点作于点，延长交延长线于点．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：；（2）某小组探究发现，当时，；当时，．请你继续探究：①当时，______；②当时，______（用含，的式子表示）．（3）拓展应用：在图1中，过点作，垂足为点，连接，得到图2，当点运动到使时，若，求的值（用含，的式子表示）．20．（本小题9分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的大小为______度，线段长度的最小值为______．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为______米．答案和解析1．【答案】B【解析】解：A．是一元三次方程，故本选项不符合题意；B．是一元二次方程，故本选项符合题意；C．是二元二次方程，故本选项不符合题意；D．是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．【答案】C【解析】解：，，，解得，故选：C．根据平行线分线段成比例定理可知，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，列出比例式解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3．【答案】B【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项正确；C、对角线垂直的平行四边形可能是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．分析：利用特殊四边形的判定定理对选项逐一判断后即可得到正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．4．【答案】A 【解析】【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，是等边三角形，．故选：A．5．【答案】C 【解析】解：，，，选项B、D根据两角对应相等判定，选项A根据两边成比例夹角相等判定，选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6.【答案】D【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意得：，故选：D．设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．7．【答案】D【解析】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，可配成紫色的概率是：．故选：D．由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．【答案】C【解析】解：结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，菱形，，，，当点运动到中点时，的长为，故选：C．结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到中点时，的长为，解得即可．本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．9．【答案】【解析】解：，，，故答案为：．利用比例的性质进行计算，即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．10．【答案】20【解析】解：设球个数为：个，摸到红色球的频率稳定在0.25左右，口袋中得到红色球的概率为0.25，，解得：，经检验是分式方程的解，即球的个数为20个，故答案为：20．由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出球个数即可．此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．11．【答案】1【解析】解：是方程的一个根，把代入方程有：，．故答案是1．因为是方程的一个根，所以可以把代入方程，就能求出代数式的值．本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，求出代数式的值．12．【答案】3【解析】解：四边形是平行四边形，，点为的中点，，，，，即，，故答案为：3．利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．13．【答案】【解析】解：连接，过作于，如图：设，则，，为中点，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，，为中点，，，，，，解得或（小于0，舍去），．故答案为：．连接，过作于，设，则，由，为中点，可得，利用相似三角形的判定与性质即可解得答案．本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．14．【答案】解：（1），则，，，；（2），则，，，或，，；（3），，，或，解得，．【解析】（1）利用直接开平方法解答即可；（2）利用提公因式法可以解答此方程；（3）先移项，然后根据因式分解法可以解答此方程．本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．15．【答案】8 12 30% 40%【解析】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：（人），，，；故答案为：8，12，30%；（2）由（1）得：本次调查共抽取了40名学生，故答案为：40，补全条形图如图所示：（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为．（1）根据等级的人数和所占百分比列式计算求出本次调查共抽取的学生人数，即可解决问题；（2）由（1）的结果求解即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．此题考查了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与统计表的知识．用到的知识点为：概所求情况数与总情况数之比．16．【答案】（1）解：如图，菱形即为所求；（2）解：如图，正方形即为所求；（3）证明：，，，，，，．【解析】（1）根据菱形的判定画出图形即可；（2）根据正方形的判定画出图形即可；（3）根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可．本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．【答案】（1）证明：四边形是菱形，，，，，，四边形是平行四边形，．，四边形是平行四边形．，，，，平行四边形是矩形．（2）解：由（1）知四边形是矩形，，，．又，，．在中，，，为等边三角形，．【解析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得，，所以．又由，，由直角三角形性质得．在中，，由直角三角形性质得，得到为等边三角形，即可计算得出结论．本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．18．【答案】解：（1）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，．又为了给顾客最大的实惠，．答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；（2）不可能，理由如下：设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，依题意得：，整理得：．，方程无实数解，即不可能每天盈利2000元．【解析】（1）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；（2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不可能每天盈利1300元．本题考查了一元二次方程的应用，关键是掌握列代数式以及根的判别式．19．【答案】 【解析】（1）证明：，，，，，，且，，；（2）解：①当时，；当时，，总结规律得：是的2倍，当时，，故答案为：；②作于点，如图1，，，，，，由（1）知，又，，即，，故答案为：；（3），理由如下：过点作，如图2，，，，由（2）知，当时，，，，，，，，，，，，，，，，由（1）知，．（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论；（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论；（3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果．本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．【答案】30 【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，又，．（2）解：，，，．四边形是平行四边形，，当最小时，也有最小值，此时．最小值是．故答案为：30，．【方法应用】解：如图过作的平行线，则四边形是平行四边形，，，，当时，最小，，，，在中，，．故答案为：．（1）先证四边形是平行四边形得到．（2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解；【方法应用】参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键．等级频数（人数）频率164