北京市三帆中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）2024年巴黎奥运会的体育图标是用对称版式加上几何图形来展示各种运动项目的．下列各图案中，不是中心对称图形的为（　　）A． B． C． D．2．（2分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（　　）A．y＝（x﹣6）2 B．y＝（x﹣6）2﹣2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x23．（2分）在平面直角坐标系中，如果⊙O的半径为3，那么点A（﹣2，2）在⊙O（　　）A．外 B．内 C．上 D．不确定4．（2分）若方程（a+1）x|a|+1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在5．（2分）下列命题中正确的是（　　）A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．正方形的半径等于正方形的边长 C．直径是圆中最长的弦 D．两条弦所对的弧相等6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）A．ac＞0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．此函数图象与直线y＝c有两个公共点7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（　　）A．3 B．4 C．2 D．68．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2x+2的交点横坐标分别是﹣1和1，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（　　）A．﹣3 B．1 C．2 D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，3）的抛物线的解析式 　 　．10．（2分）若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 　 　．11．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣5）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标是 　 　．12．（2分）已知某个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在此图象上，则y1与y2的大小关系为y1　 　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝30°，则∠ACB＝ 　 　．14．（2分）二次函数y＝﹣x2+4x+m满足以下条件：当﹣3＜x＜﹣2时，它的图象位于x轴的上方；当7＜x＜8时，它的图象位于x轴的下方，那么﹣x2+4x+m＞0的解集是 　 　．15．（2分）如图，点B、C在⊙O上，点A在⊙O内，其中OA＝7，AB＝11，∠A＝∠B＝60°，则BC＝ 　 　．16．（2分）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．下列说法中：①AC的长为2；②∠ADC＝120°；③若劣弧被点D分为1：2的两部分，则∠DBC＝20°；④若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是；所有正确结论的序号是 　 　．三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围．19．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，直线DE交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若CF＝1，求线段AD的长．20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，3），B（2，3），C（﹣1，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）补全表格，画出二次函数的图象；（3）关于该二次函数，下列说法正确的有 　 　．①图象开口朝下，顶点为（1，4）；②当x≤1时，y随x增大而减小；③当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y＜4；④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．21．（5分）2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”logo的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制logo后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：y＝﹣10x+2000（150≤x＜200）．设在这次活动中印制logo花费w元．（1）求w与x之间的函数表达式．（2）请你帮助基金会算一下给礼物印制logo最多需要花费多少钱？22．（5分）等分圆周，是一种分割圆形的方法，包含尺规作图法、单规作图法等．马斯凯罗尼圆规问题是一个著名的问题，即能否仅用圆规完成欧几里得几何作图．很早人们就注意了这类作图问题．例如，法国军事家拿破仑就曾向法国数学家们提出了这样一个问题：只用圆规将一个圆周4等分．智慧的小亦同学就解决了此问题，小亦的做法如下：第一步：首先利用圆规如图所示，把⊙O六等分；第二步：分别以A、D为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点G；第三步：以A为圆心，OG为半径画弧，交⊙O于M、N．则A、M、D、N是⊙O的四等分点．（1）请你按照小亦的做法补全图1；（2）根据图2完成以下证明过程：已知：AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝r，AG＝DG＝AC，AM＝AN＝OG．求证：．证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝r，∴（推理依据①　 　）∴∠DAC＝②　 　，∠CDA＝60°，∠ACD＝90°．∴AD是⊙O的直径．（推理依据③　 　）在Rt△ACD中，∵AD＝2r，CD＝r，∴，∵AG＝DG＝AC，AO＝DO，∴GO⊥AD．在Rt△AOG中，，AO＝r，∴OG＝④　 　．∵AM＝AN＝OG，AO＝OM＝r，∴AM2＝AO2+OM2，∴∠AOM＝90°，同理可证∠AON＝90°＝∠MOD＝∠DON，∴．23．（5分）已知直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，4）．（1）求b的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x+b于点B，交直线x＝﹣3于点C．①当n＝﹣1时，用等式表示线段PC与PB的数量关系，并说明理由；②当﹣1＜n＜0时，结合函数图象，则PC 　 　2PB（填“＞”，“＜”或“＝”）．24．（6分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过O作OG⊥CD于点G，过点C作⊙O的切线CP交OG的延长线于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）连接AD、BC．若∠DAB＝74°，∠CBA＝46°，，求OP的长．25．（6分）如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得OA距离为8m．若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1m的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中C1；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中C2．（1）轨迹C1中，测得沙包的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：请根据以上数据，解决问题：①抛物线C1中，沙包运行的最高点距离地面的高度是 　 　m；②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是 　 　．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，m）（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝1时，①直接写出b与a满足的数量关系；②m与n的大小关系是：m 　 　n．（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）已知点（x0，p）在抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．27．（7分）已知：线段AB．将线段AB绕点A逆时针旋转α，得到线段AC．再将线段AC绕点C逆时针旋转β，得到线段CD．连接AD、BC．分别取线段AD，BC的中点E，F，直线EF分别交AB，CD于点G、H．（1）如图1所示，α＝80°，β＝34°时，∠BGF＝57°．求证：BG＝CH．（2）当时，（1）中结论是否仍然成立，若成立补全图2，并证明你的结论；若不成立说明理由．28．（7分）已知：平面直角坐标系xOy中，存在点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足ax1+by1＝c，ax2+by2＝c（其中a、b不能同时为0）．对于点P、Q，直线MN和图形W给出如下定义：点P、Q关于直线MN的对称点为P'，Q'．若线段PQ和线段P′Q′都在图形W内部（含边界），则称图形W为点P、Q关于【a，b，c】的反射图形．例如：点M（1，4），N（﹣2，﹣2）满足2×1+（﹣1）×4＝﹣2，2×（﹣2）+（﹣1）×（﹣2）＝﹣2．如图所示，点P、Q关于直线MN的对称点为P′，Q′，所以△ABC为点P、Q关于【2，﹣1，﹣2】的反射图形．（1）若矩形ABCD为点P（2，0），Q（2，2）关于【1，﹣1，﹣2】的反射图形，矩形ABCD的边AB⊥x轴，边BC⊥y轴，则符合要求的矩形ABCD的面积的最小值为 　 　；（2）若OP＝1，⊙H是点O，P关于【1，﹣1，﹣2】的反射图形，求⊙H的半径的最小值；（3）若点P（xp，yp），点Q（xQ，yQ）满足，其中xP≤0，yp≤0，xQ≤0、yQ≤0，且半径为R的⊙O为点P、Q关于【1，1，4】的反射图形，请直接写出R的取值范围．2024-2025学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）2024年巴黎奥运会的体育图标是用对称版式加上几何图形来展示各种运动项目的．下列各图案中，不是中心对称图形的为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项B、C、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：A．2．（2分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（　　）A．y＝（x﹣6）2 B．y＝（x﹣6）2﹣2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2【答案】D【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴平移后抛物线解析式为：y＝（x﹣3+3）2﹣1+1．即y＝x2．故选：D．3．（2分）在平面直角坐标系中，如果⊙O的半径为3，那么点A（﹣2，2）在⊙O（　　）A．外 B．内 C．上 D．不确定【答案】B【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．【解答】解：由勾股定理得：OA＝＝2，∴点A与圆心的距离d＝2，∵⊙O的半径r＝3，∴d＜r，∴点A在⊙O的内部．故选：B．4．（2分）若方程（a+1）x|a|+1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|+1＝2，a+1≠0，即可求出a的值．【解答】解：若方程（a+1）x|a|+1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则|a|+1＝2，解得a＝±1，∵a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a＝1，故选：A．5．（2分）下列命题中正确的是（　　）A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．正方形的半径等于正方形的边长 C．直径是圆中最长的弦 D．两条弦所对的弧相等【答案】C【分析】根据垂径定理的推论、正多边形和圆、弦的定义、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项命题错误，不符合题意；B、正方形的半径等于正方形的边长的倍，故本选项命题错误，不符合题意；C、直径是圆中最长的弦，命题正确，符合题意；D、两条弦所对的弧不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意；故选：C．6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）A．ac＞0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．此函数图象与直线y＝c有两个公共点【答案】D【分析】A．a＜0，c＞0，故ac＜0，即可求解；B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可求解；C．抛物线和x轴有两个交点，即可求解；D．从函数图象看，抛物线和直线y＝c有两个交点，即可求解．【解答】解：A．从函数图象看，a＜0，c＞0，故ac＜0，故A错误，不符合题意；B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意；C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，故C错误，不符合题意；D．从函数图象看，抛物线和直线y＝c有两个交点，正确，符合题意，故选：D．7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（　　）A．3 B．4 C．2 D．6【答案】C【分析】根据一次函数y＝x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，根据勾股定理求出AB，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB，设PD＝PO＝PM＝x，根据S△AOB＝S△APB+S△PBO列出关于x的方程，求出x，即可求出答案．【解答】解：当x＝0时，y＝x+6＝6，当y＝0时，x+6＝0，∴x＝﹣8，∵一次函数y＝x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，在Rt△AOB中，AB＝＝10，如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB，∴PD⊥AB，PD＝PO＝PM，设PD＝PO＝PM＝x，∵S△AOB＝S△APB+S△PBO．∴OA•OB＝AB•PD+PO•OB，∴6×8＝10x+6x，解得x＝3，∴AM＝OA﹣PM﹣PP＝2．故选：C．8．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2x+2的交点横坐标分别是﹣1和1，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（　　）A．﹣3 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】求出抛物线的表达式y＝ax2+2x+2﹣a，由﹣1×m＝＝1﹣，求出m，进而求解．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝2x+2＝0，当x＝1时，y＝2x+2＝4，即抛物线过点（﹣1，0）、（1，4），由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝ax2+2x+2﹣a，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m，另外一个交点为﹣1，则﹣1×m＝＝1﹣，即3＜1﹣＜4，解得：﹣1＜a＜﹣，故选：D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，3）的抛物线的解析式 　y＝x2+x+3，答案不唯一　．【答案】y＝x2+x+3，答案不唯一．【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，3），说明常数项c＝3．【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y＝x2+x+3，答案不唯一．故本题答案为：y＝x2+x+3，答案不唯一．10．（2分）若一个扇形的半径是9cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于 　120°　．【答案】120°．【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可．【解答】解：根据弧长公式l＝＝＝6π，解得：n＝120，故答案为：120°．11．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣5）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标是 　（﹣2，5）　．【答案】（﹣2，5）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A（2，﹣5）与点B关于原点中心对称，∴点B的坐标为：（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．12．（2分）已知某个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在此图象上，则y1与y2的大小关系为y1　＞　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】＞．【分析】观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，根据点A、B横坐标判断即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝2，∵A（﹣1，y1），B（3，y2）在此图象上，∴点A（﹣1，y1）到直线x＝2的距离比点B（3，y2）到直线x＝2的距离要大，∵抛物线的开口向上，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝30°，则∠ACB＝ 　75°　．【答案】75°．【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和是360°求出∠AOB，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝75°．故答案为：75°．14．（2分）二次函数y＝﹣x2+4x+m满足以下条件：当﹣3＜x＜﹣2时，它的图象位于x轴的上方；当7＜x＜8时，它的图象位于x轴的下方，那么﹣x2+4x+m＞0的解集是 　﹣3＜x＜7　．【答案】﹣3＜x＜7．【分析】由题意知，二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象的对称轴为直线x＝＝2，根据抛物线的对称性可得当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，当﹣4＜x＜﹣3时，它的图象位于x轴的下方，进而可得二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象与x轴的交点坐标为（7，0）和（﹣3，0），再结合图象可得答案．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象的对称轴为直线x＝＝2，∵当﹣3＜x＜﹣2时，它的图象位于x轴的上方，当7＜x＜8时，它的图象位于x轴的下方，∴当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，当﹣4＜x＜﹣3时，它的图象位于x轴的下方，∴二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象与x轴的交点坐标为（7，0）和（﹣3，0），∴﹣x2+4x+m＞0的解集是﹣3＜x＜7．故答案为：﹣3＜x＜7．15．（2分）如图，点B、C在⊙O上，点A在⊙O内，其中OA＝7，AB＝11，∠A＝∠B＝60°，则BC＝ 　18　．【答案】18．【分析】延长AO交BC于D，过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，由垂径定理得到BC＝2BN，判定△ABD是等边三角形，得到AD＝AB＝11，求出OD＝4，由含30度角的直角三角形的性质求出DN＝2，ON＝2，AM＝，OM＝，求出MB＝AB﹣AM＝，由勾股定理得到OB2＝OM2+MB2＝，BN＝＝9，因此BC＝2BN＝18．【解答】解：延长AO交BC于D，过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，∴BC＝2BN，∵A＝∠ABD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠B＝∠ABD＝∠ADB，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝AB＝11，∴OD＝AD﹣AO＝11﹣7＝4，∵∠DON＝90°﹣60°＝30°，∴DN＝OD＝2，∴ON＝DN＝2，∵∠AOM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝OA＝，∴OM＝AM＝，∵MB＝AB﹣AM＝11﹣＝，∴OB2＝OM2+MB2＝，∴BN＝＝9，∴BC＝2BN＝18．故答案为：18．16．（2分）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．下列说法中：①AC的长为2；②∠ADC＝120°；③若劣弧被点D分为1：2的两部分，则∠DBC＝20°；④若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是；所有正确结论的序号是 　①　．【答案】①．【分析】①过点O作OH⊥AC于点H，连接OA，OC，则AH＝CH，再由勾股定理求出AE＝1，进而得AC＝2AH＝2，由此可对①进行判断；②根据△OAC是等边三角形得AOC＝60°，则∠B＝30°，再根据圆内接四边形的性质得∠ADC＝150°，由此可对②进行判断；③当劣弧被点D分为1：2的两部分，连接BD，有以下两种情况：①：＝1：2时，则∠DBC＝20°；②当：＝1：2时，则∠DBC＝10°由此可对③进行判断；④连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，根据CF⊥OE得当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动，再根据点与圆的位置关系得当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF，然后分别求出PF＝1，AP＝，则可得AF的最小值是，由此可对④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①过点O作OH⊥AC于点H，连接OA，OC，如图1所示：则AH＝CH，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OC＝2在Rt△OAH中，OA＝2，OD＝，由勾股定理得：AE＝＝1，∴AC＝2AH＝2，故①正确；②∵OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴AOC＝60°，∴∠B＝AOC＝30°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝150°，故②不正确；③∵劣弧被点D分为1：2的两部分，∴有以下两种情况：连接BD，如图2所示： ①：＝1：2时，∴＝2，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠ABD＝∠ABC＝30°，∴2∠ABD+∠ABD＝30°，∴∠ABD＝10°，∴∠DBC＝2∠ABD＝20°；②当弧：＝1：2时，则＝2，∴∠ABD＝2∠DBC，∴∠DBC+2∠DBC＝30°，∴∠DBC＝10°，综上所述：当劣弧AC被点D分为1：2的两部分，则∠DBC＝20°或10°，故③不正确；④连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，如图3所示：∵CF⊥OE，∴∠OFC＝90°，∴当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动，根据点与圆的位置关系得：当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF，∵△OAC是等边三角形且边长为2，点P是OC的中点，∵PO＝PC＝PF＝OC＝1，AP⊥OC，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP＝＝，∴AP﹣PF＝，∴AF的最小值是．故④不正确．综上所述：正确结论的序号是①．故答案为：①．三、解答题（本题共68分，第17、18、19、21、22、23题每题5分，第20、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣6x+8＝0．【答案】见试题解答内容【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）k＜﹣3．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案．【解答】（1）证明：∵方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝﹣（k+4），c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，∴无论k为何值，该方程总有两个实数根．（2）解：由求根公式，得x＝．∴x1＝1，x2＝k+3，∵方程有一个根为负数，∴k+3＜0．∴k＜﹣3．∴k的取值范围是k＜﹣3．19．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，直线DE交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若CF＝1，求线段AD的长．【答案】（1）见解答．（2）AD＝．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）设直线DE交AB于点G，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转得，AE＝AC，AD＝AB，∠AED＝∠ACB＝90°，∠CAE＝60°，可得△ACE为等边三角形，即可得∠ACE＝60°，AC＝CE，∠ECF＝30°．结合等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝45°，进而可得∠BFG＝60°，从而可得EF＝CF＝1．在Rt△EFH中，可得EH＝EF•sin60°＝，在Rt△CEH中，可得CE＝2EH＝，则AC＝，AB＝AC＝，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示．（2）设直线DE交AB于点G，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转得，AE＝AC，AD＝AB，∠AED＝∠ACB＝90°，∠CAE＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴∠ACE＝60°，AC＝CE，∴∠ECF＝30°．∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠EAG＝∠CAE﹣∠BAC＝15°，∴∠AGE＝∠BGF＝180°﹣15°﹣90°＝75°，∴∠BFG＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵∠BFG＝∠ECF+∠CEF，∴∠CEF＝30°，∴∠ECF＝∠CEF，∴EF＝CF＝1．在Rt△EFH中，∠EFH＝60°，∴EH＝EF•sin60°＝，在Rt△CEH中，∠ECH＝30°，∴CE＝2EH＝，∴AC＝，∴AB＝AC＝，∴AD＝．20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，3），B（2，3），C（﹣1，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）补全表格，画出二次函数的图象；（3）关于该二次函数，下列说法正确的有 　①④　．①图象开口朝下，顶点为（1，4）；②当x≤1时，y随x增大而减小；③当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y＜4；④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）见解答；（3）①④．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式；（2）取点描点连线绘制函数图象即可；（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）取点补全表格为：如图，（3）①a＝﹣1，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为（1，4），故①正确，符合题意；②抛物线的对称轴为直线x＝1，则当x≤1时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；③从图象看，当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4，故③错误，不符合题意；④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积＝×（3+1）×3＝6，故④正确，符合题意；故答案为：①④．21．（5分）2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”logo的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制logo后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：y＝﹣10x+2000（150≤x＜200）．设在这次活动中印制logo花费w元．（1）求w与x之间的函数表达式．（2）请你帮助基金会算一下给礼物印制logo最多需要花费多少钱？【答案】（1）w＝﹣10x2+2000x；（2）给礼物印制logo最多需要花费75000元钱．【分析】（1）根据题意可得：w＝xy＝x（﹣10x+2000）＝﹣10x2+2000x；（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：w＝xy＝x（﹣10x+2000）＝﹣10x2+2000x（150≤x＜200）；（2）∵w＝﹣10x2+2000x＝﹣10（x﹣100）2+100000，且﹣10＜0，150≤x＜200，∴当x＝150时，w有最大值，最大值为75000元，答：给礼物印制logo最多需要花费75000元钱．22．（5分）等分圆周，是一种分割圆形的方法，包含尺规作图法、单规作图法等．马斯凯罗尼圆规问题是一个著名的问题，即能否仅用圆规完成欧几里得几何作图．很早人们就注意了这类作图问题．例如，法国军事家拿破仑就曾向法国数学家们提出了这样一个问题：只用圆规将一个圆周4等分．智慧的小亦同学就解决了此问题，小亦的做法如下：第一步：首先利用圆规如图所示，把⊙O六等分；第二步：分别以A、D为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点G；第三步：以A为圆心，OG为半径画弧，交⊙O于M、N．则A、M、D、N是⊙O的四等分点．（1）请你按照小亦的做法补全图1；（2）根据图2完成以下证明过程：已知：AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝r，AG＝DG＝AC，AM＝AN＝OG．求证：．证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝r，∴（推理依据①　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等　）∴∠DAC＝②　30°　，∠CDA＝60°，∠ACD＝90°．∴AD是⊙O的直径．（推理依据③　90°的圆周角所对的弦是直径　）在Rt△ACD中，∵AD＝2r，CD＝r，∴，∵AG＝DG＝AC，AO＝DO，∴GO⊥AD．在Rt△AOG中，，AO＝r，∴OG＝④　＝r　．∵AM＝AN＝OG，AO＝OM＝r，∴AM2＝AO2+OM2，∴∠AOM＝90°，同理可证∠AON＝90°＝∠MOD＝∠DON，∴．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【分析】（1）按要求画图即可；（2）①这是根据弦相等，则弧相等，注意在同圆或等圆中这一条件；②根据证明过程添加相应的性质和少的过程即可；③根据圆周角定理即可解答；④根据勾股定理即可解答．【解答】解：（1）如图1所示，（2）证明：如图2，连接AM，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝r，∴（①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的优弧和劣弧分别相等），∴∠DAC＝②30°，∠CDA＝60°，∠ACD＝90°．∴AD是⊙O的直径（③90°的圆周角所对的弦是直径），在Rt△ACD中，∵AD＝2r，CD＝r，∴，∵AG＝DG＝AC，AO＝DO，∴GO⊥AD．在Rt△AOG中，，AO＝r，∴OG＝＝r④．∵AM＝AN＝OG，AO＝OM＝r，∴AM2＝AO2+OM2，∴∠AOM＝90°，同理可证∠AON＝90°＝∠MOD＝∠DON，∴．故答案为：①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等，②30°，③90°的圆周角所对的弦是直径，④＝r．23．（5分）已知直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，4）．（1）求b的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x+b于点B，交直线x＝﹣3于点C．①当n＝﹣1时，用等式表示线段PC与PB的数量关系，并说明理由；②当﹣1＜n＜0时，结合函数图象，则PC 　＞　2PB（填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】（1）﹣2；（2）①当n＝﹣1时，PC＝2PB，理由见解答；②＞．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值；（2）由（1）可得出直线的解析式．①当n＝﹣1时，可得出点P的坐标，结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，C的坐标，结合点P的坐标，可得出PB，PC的值，进而可得出PC＝2PB；②利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，C的坐标，结合点P的坐标，可得出PB，PC的值，结合﹣1＜n＜0，即可得出PC＞2PB．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b过点（﹣3，4），∴4＝﹣2×（﹣3）+b，解得：b＝﹣2，∴b的值为﹣2；（2）由（1）可知：直线的解析式为y＝﹣2x﹣2．①当n＝﹣1时，PC＝2PB，理由如下：当n＝﹣1时，﹣2n＝﹣2×（﹣1）＝2，∴点P的坐标为（﹣1，2），∴过点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线的解析式为y＝2；当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，解得：x＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，2）；∵直线y＝2与直线x＝﹣3交于点C，∴点C的坐标为（﹣3，2），∴PC＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PB＝﹣1﹣（﹣2）＝1，∴当n＝﹣1时，PC＝2PB；②当y＝﹣2n时，﹣2x﹣2＝﹣2n，解得：x＝n﹣1，∴点B的坐标为（n﹣1，﹣2n）；∵直线y＝﹣2n与直线x＝﹣3交于点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣2n），∴PC＝n﹣（﹣3）＝n+3，PB＝n﹣（n﹣1）＝1．∵﹣1＜n＜0，∴2＜n+3＜3，∴PC＞2PB．故答案为：＞．24．（6分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过O作OG⊥CD于点G，过点C作⊙O的切线CP交OG的延长线于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）连接AD、BC．若∠DAB＝74°，∠CBA＝46°，，求OP的长．【答案】（1）证明见解答；（2）OP＝．【分析】（1）根据SAS证明△ODP≌△OCP，则∠ODP＝∠OCP＝90°，即可解答；（2）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵PC为⊙O的切线，OC是半径，∴OC⊥CP，∴∠OCP＝90°，∵OG⊥CD，OC＝OD，∴∠COP＝∠DOP，∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵OB＝OC，∠CBA＝46°，∴∠OCB＝∠CBA＝46°，∴∠BOC＝180°﹣46°﹣46°＝88°，同理得：∠AOD＝32°，∴∠DOP＝∠COP＝30°，Rt△OCP中，PC＝OP，设CP＝x，则OP＝2x，由勾股定理得：x2+（）2＝（2x）2，∴x＝（负值舍），∴OP＝．25．（6分）如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得OA距离为8m．若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1m的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中C1；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中C2．（1）轨迹C1中，测得沙包的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：请根据以上数据，解决问题：①抛物线C1中，沙包运行的最高点距离地面的高度是 　3　m；②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是 　≤b≤　．【答案】（1）①3；②y＝﹣（x﹣4）2+3；（2）≤b≤．【分析】（1）①g根据表中数据即可得到结论；②设抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把（0，1）代入解方程即可得到结论；（2）根据题意得到点B的坐标范围是（7，1）～（9，1），把（7，1）代入函数解析式得到1＝﹣×49+7b+2，解方程得到b＝，把（9，1）代入函数解析式得到1＝﹣×81+9b+2，解方程得到b＝，于是得到结论．【解答】解：（1）①由表中数据可得抛物线 C1 的最高点坐标为的（4，3），∴抛物线C1中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m，故答案为：3；②设抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把（0，1）代入得1＝16a+3，解得a＝﹣，∴设抛物线C1的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3；（2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，∴此时，点B的坐标范围是（7，1）～（9，1），当经过（7，1）时，1＝﹣×49+7b+2，解得：b＝，当经过（9，1）时，1＝﹣×81+9b+2，解得：b＝，∴≤b≤，∴b的取值范围是≤b≤．故答案为：≤b≤．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，m）（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝1时，①直接写出b与a满足的数量关系；②m与n的大小关系是：m 　＞　n．（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）已知点（x0，p）在抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．【答案】（1）①b＝﹣2a；②＞；（2）1≤t≤3．【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；（2）由题意可知点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，进而可以得解．【解答】解：（1）①由题意，∵t＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A（﹣2，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝1，∴点A（﹣2，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离，∴m＞n．故答案为：＞．（2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝t，且抛物线开口向上，∴当x＞t时，y随x的增大而增大．∵﹣2＜3＜x0，∴点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n，∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，∴．∴1≤t≤3．∴t的取值范围是1≤t≤3．27．（7分）已知：线段AB．将线段AB绕点A逆时针旋转α，得到线段AC．再将线段AC绕点C逆时针旋转β，得到线段CD．连接AD、BC．分别取线段AD，BC的中点E，F，直线EF分别交AB，CD于点G、H．（1）如图1所示，α＝80°，β＝34°时，∠BGF＝57°．求证：BG＝CH．（2）当时，（1）中结论是否仍然成立，若成立补全图2，并证明你的结论；若不成立说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）当且仅当∠BGF＝（α+β）时，（1）的结论才成立，否则不成立．【分析】（1）在BC下方作∠BCK＝∠ACD＝34°，点K在直线EF上，先证得∠GBF＝∠HCK，再证得∠BGF＝∠CHK，利用AAS证得△BGF≌△CHK，即可证得结论；（2）延长HG至点M，使EM＝EH，连接AM，延长GF至点N，使得FN＝GF，连接CN，先证得△AEM≌△DEH（SAS），得出∠M＝∠DHE，再证得△BFG≌△CFN（SAS），得出∠N＝∠BGF，BG＝CN，推出当且仅当∠BGF＝（α+β）时，（1）的结论才成立，否则不成立．【解答】（1）证明：在BC下方作∠BCK＝∠ACD＝34°，点K在直线EF上，如图1，∴∠HCK＝∠HCF+∠BCK＝∠HCF+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝50°，∴∠ABC＝∠HCK，即∠GBF＝∠HCK，∵CA＝CD，∠ACD＝34°，∴∠CAD＝∠D＝73°，∴∠EAG＝∠BAC﹣∠CAD＝80°﹣73°＝7°，∵∠BGF＝57°，∴∠DEH＝∠AEG＝∠BGF﹣∠EAG＝57°﹣7°＝50°，∴∠CHK＝∠DHE＝180°﹣∠D﹣∠DEH＝57°，∴∠BGF＝∠CHK，∵F是BC的中点，∴BF＝CF，∴△BGF≌△CHK（AAS），∴BG＝CH．（2）解：延长HG至点M，使EM＝EH，连接AM，延长GF至点N，使得FN＝GF，连接CN，∵AC＝CD，∠ACD＝β，∴∠CAD＝∠D＝（180°﹣β）＝90°﹣β，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝α﹣（90°﹣β）＝α+β﹣90°，∵E、F是AD、BC的中点，∴AE＝DE，BF＝CF，在△AEM和△DEH中，，∴△AEM≌△DEH（SAS），∴∠M＝∠DHE，∴∠MAE＝∠D＝90°﹣β，∴∠MAG＝∠MAD﹣∠BAD＝90°﹣β﹣（α+β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，∴∠M＝180°﹣∠MAG﹣∠AGM＝180°﹣（180°﹣α﹣β）﹣∠BGF＝α+β﹣∠BGF，∴∠M+∠BGF＝α+β，在△BFG和△CFN中，，∴△BFG≌△CFN（SAS），∴∠N＝∠BGF，BG＝CN，∴∠CHN＝∠DHE＝∠M＝α+β﹣∠BGF，∴∠CHN+∠N＝α+β，∴要使BG＝CH，即CN＝CH，∴∠CHN＝∠N，又∵∠CHN+∠N＝α+β，∴当且仅当∠CHN＝∠N＝（α+β）时，结论成立，即当且仅当∠BGF＝（α+β）时，（1）的结论才成立，否则不成立．28．（7分）已知：平面直角坐标系xOy中，存在点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足ax1+by1＝c，ax2+by2＝c（其中a、b不能同时为0）．对于点P、Q，直线MN和图形W给出如下定义：点P、Q关于直线MN的对称点为P'，Q'．若线段PQ和线段P′Q′都在图形W内部（含边界），则称图形W为点P、Q关于【a，b，c】的反射图形．例如：点M（1，4），N（﹣2，﹣2）满足2×1+（﹣1）×4＝﹣2，2×（﹣2）+（﹣1）×（﹣2）＝﹣2．如图所示，点P、Q关于直线MN的对称点为P′，Q′，所以△ABC为点P、Q关于【2，﹣1，﹣2】的反射图形．（1）若矩形ABCD为点P（2，0），Q（2，2）关于【1，﹣1，﹣2】的反射图形，矩形ABCD的边AB⊥x轴，边BC⊥y轴，则符合要求的矩形ABCD的面积的最小值为 　16　；（2）若OP＝1，⊙H是点O，P关于【1，﹣1，﹣2】的反射图形，求⊙H的半径的最小值；（3）若点P（xp，yp），点Q（xQ，yQ）满足，其中xP≤0，yp≤0，xQ≤0、yQ≤0，且半径为R的⊙O为点P、Q关于【1，1，4】的反射图形，请直接写出R的取值范围．【答案】（1）16；（2）；（3）R≥2．【分析】（1）MN在直线y＝x+2上，点P和点Q关于MN的对称点坐标是P′（﹣2，4），Q′（0，4），进一步得出结果；（2）点O关于直线y＝x+2的对称点O′（﹣2，2），点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，点P′在以（﹣2，2）为圆形，半径为1的圆上运动，可得出OO′＝2，进而得出结果；（3）由题意得P，Q关于直线y＝﹣x+4对称，点PQ之间的距离是2，可得出当P（﹣1，0），Q（0，﹣1）时，⊙H的半径最小，作OB⊥PQ于B，交MN于A，交P′Q′与点C，可一次求得OB，OA，AB，BC的值，进而求得OC和P′C的值，进一步得出结果．【解答】解：（1）如图1，∵矩形ABCD为点P（2，0），Q（2，2）关于【1，﹣1，﹣2】的反射图形，∴M，N满足x﹣y＝﹣2，即MN在直线y＝x+2上，点P和点Q关于MN的对称点坐标是P′（﹣2，4），Q′（0，4），∵矩形ABCD的边AB⊥x轴，边BC⊥y轴，∴矩形ABCD的面积的最小值是边长为4的时候，∴矩形面积的最小值是16，故答案为：16；（2）如图2，点O关于直线y＝x+2的对称点O′（﹣2，2），点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，点P′在以（﹣2，2）为圆形，半径为1的圆上运动，∵OO′＝2，∴⊙H的半径最小值为：；（3）如图3，由题意得P，Q关于直线y＝﹣x+4对称，∵点P（xp，yp），点Q（xQ，yQ）满足＝，其中xP≤0，yp≤0，xQ≤0、yQ≤0，∴点PQ之间的距离是2，当P（﹣1，0），Q（0，﹣1）时，⊙H的半径最小，作OB⊥PQ于B，交MN于A，交P′Q′与点C，∵OB＝PQ＝，OA＝2，∴AB＝3，∴BC＝2AB＝6，∴OC＝BC﹣OB＝5，∵P′C＝，∴OP′＝＝＝2，∴R≥2x…01234…y…41014…x……y……水平距离x/m02468竖直高度y/m1.02.53.02.51.0x…01234…y…41014…x……y……x…﹣10123…y…03430…水平距离x/m02468竖直高度y/m1.02.53.02.51.0