云南省曲靖市麒麟区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年上学期期中考试高二年级数学试题卷（考试时间：120分钟：满分：150分）注意事项：1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷、草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂．2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的一个方向向量是（ ）A． B． C． D．（2．已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则双曲线C的渐近线方程（ ）A． B． C． D．3．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的方程为（ ）A． B．C． D．4．记为等比数列的前n项和．若，则（ ）A． B． C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．6．直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．7．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）A． B． C． D．8．已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）A．8 B． C． D．10二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）A．若圆与x轴相切，则B．若，则圆与圆相离C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆始终有两个交点10．已知等差数列的前n项和为，公差，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）A． B．C．当或时，取得最大值 D．当时，n的最大值为2011．已知定点，动点P到B的距离和它到直线的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ）A．P，A，B不共线时，面积的最大值为 B．点P的轨迹方程为：C．存在点P，使得 D．O为坐标原点，的最小值为4第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．抛物线的焦点坐标为______．13．已知数列的前n项和，则______．14．已知两点，若点P是圆上的动点，则的面积的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．16．（本题满分15分）已知数列为等比数列，在数列中，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式和数列的前n项和．17．（本题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小．（2）若，求的周长．18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点C是的重心，与交于点M．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．19．（本题满分17分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于M、N两点．当l垂直于长轴时，．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在点P，使得当l绕点F转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2024-2025学年上学期期中考试高二年级数学答案一、单项选择题：1．选：D 直线的斜率为，直线的一个方向向量是，因为与共线． 2．选：C 由已知，得双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距，解得，双曲线的实轴长为，解得，则，即双曲线C的渐近线方程为．3．选：C 线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线l方程联立，得圆心坐标为．又圆的半径，所以，圆C的方程为，即．4．选：A 设等比数列的公比为q，则由解得所以．5．选：B 由题意可知，在，由余弦定理得，化简得，则，所以．6．选：D 直线过定点当时，有最小值.7．选：A 由题意，得的斜率为，而的渐近线为．由于直线l与双曲线C没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即．8．选：B 由正项等比数列可知成等比数列，则，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为．二、多项选择题：9．选：BD 因为，所以若圆与x轴相切，则有故A错误；当时，，两圆相离，故B正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确．10．选：BCD 因为，所以，即 ①，又因为是与的等比中项，所以，所以，整理得 ②，由①②解得，故A错误，B正确；所以，又，所以当或时，取得最大值，故C正确；令，解得，又，所以n的最大值为20，故D正确．11．选：AD 当P点与椭圆短轴顶点重合时，面积的最大值为，故A正确由已知条件设，化简得到P的轨迹方程，故B错因为以为直径圆与椭圆没有交点，因此不存在P，使得，故C错作，C为垂足，则当C，P，O共线时，取得最小值4，故D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．答案： 形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解．13．答案：，当时，；当时，．当时，，所以14．答案： 解析：可化为，则圆C为以为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线作垂线交圆于点P，连接，这时的面积最小，直线的方程为，即，圆心C到直线的距离，又，所以的面积的最小值为．四、解答题：15．答案： 解：（1）由题中频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，同理，在中的频率分别为．由，解得．（2）由（1）可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为．根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．（3）x的值为．理由如下：因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，所以．由，解得．所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．16．答案： （1）由已知，所以等比数列的公比为，所以，所以数列是以为首项，2为公差等差数列，所以．（2）由（1）得：由已知，所以等比数列的公比为所以数列的通项公式．17．答案： （1）由可得，即，由于，故，解得．（2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为18．答案： （1）在，所以，所以因为平面平面，平面平面平面所以平面（2）连接并延长，交于点N，连接，因为点G是的重心，所以N是的中点，且，在梯形中，因为，且，所以，则，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面；（3）取的中点H，连接，在中，，所以且，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，在，所以，所以，则以D为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，过点D且与平行 直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，则，故，又为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为θ，所以25，所以平面与平面的夹角的余弦值为．19．答案： （1）当l垂直于长轴时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆可得，故由题意得解得椭圆的标准方程为：．（2）假设椭圆C上是存在点P，设为，使得四边形为平行四边形．，显然当直线l的斜率为0时不合题意，则设直线l的方程为：，联立与消去x得，判别式，设，则，，则，则中点坐标为，中点坐标为，则，解得，代入椭圆方程化简得，解得．此时，所以椭圆C上是存在点P，使得四边形为平行四边形．