2023~2024学年山东省滨州市阳信县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省滨州市阳信县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线的顶点坐标是；
故选D．
2. 如图，圆是的外接圆，，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
，
．
故选：B．
3. 反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A. m＞B. m＜2C. m＜D. m＞2
【答案】A
【解析】∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，
∴1-2m＜0，
∴m＞．
故选A．
4. 如图，若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的比值为（ ）

A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】连接，如图：

∵点O是正方形内切圆和外接圆的圆心，
∴点O为正方形的中心，
∴，
又∵正方形的内切圆与切于点E，且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．故选：B．
5. 如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 6
【答案】C
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴，
∴．
故选：C．
6. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
故选：D．
7. 下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A. 弦是直径，直径也是弦
B. 半圆是圆中最长的弧
C. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D. 过三点可以作一个圆
【答案】C
【解析】A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

9. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象的开口向下B. 函数的最大值为1
C. 图象的对称轴为直线x=﹣2D. 当x＜2时y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y=1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选D．
10. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】由图象可知，抛物线开口向下，则，，
抛物线的顶点坐标是，
抛物线对称轴为直线，
，
，则①错误，②正确；
方程的解，可以看做直线与抛物线的交点的横坐标，
由图象可知，直线经过抛物线顶点，则直线与抛物线有且只有一个交点，
则方程有两个相等的实数根，③正确；
由抛物线对称性，抛物线与轴的另一个交点是，则④错误；
不等式可以化为，
抛物线顶点为，
当时，，
故⑤正确.
故选：B.
二、填空题：本大题共8小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．
11. 如图，在⊙O中，AB是直径，∠C=15°，则∠BAD=_____度．
【答案】75．
【解析】连接BD，
由圆周角定理的推论得，∠B=∠C=15°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=75°，
故答案为75．
12. 已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是_______．
【答案】
【解析】二次函数开口向上，对称轴为，
抛物线上的点到对称轴的距离越近，值越小，
点到二次函数对称轴距离为，
，
故答案为：．
13. 直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为__．
【答案】﹣6
【解析】∵点，是双曲线上的点，∴，
∵直线与双曲线交于点，两点，即A、B两点关于原点对称．
∴，，∴．故答案为：-6．
14. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是__________．

【答案】30
【解析】∵是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，，∴，故答案为：；
15. 如图，在中，，以为直径的与交于点，与交于点，连接交于点，且，则的长为__________．

【答案】
【解析】连接，如图所示：

∵以为直径的与交于点，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
16. 二次函数y＝x2-2x-2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．
【答案】y＝(x-4)2＋1
【解析】∵y＝x2－2x-2＝(x-2)2-4，
把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得抛物线y＝(x-2-2)2-4＋5，即为y＝(x-4)2＋1．故答案为：y＝(x-4)2＋1．
17. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为___________．

【答案】
【解析】根据题意，设火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数解析式为，
当时，，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为，
∴火焰的像高为，即时，，解得，，
∴小孔到蜡烛的距离为，
故答案为：．
18. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，则y＜0，x范围是_____．
【答案】﹣2＜x＜4．
【解析】∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴y＜0时x的范围是-2＜x＜4，
故答案为-2＜x＜4．
三、解答题：本大题共6个小题，满分66分．解答时请写出必要的演推过程．
19. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
解：（1）如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD．
（2）∵CE⊥BE，∴CE2＝CB2﹣BE2，
∵CB＝3，BE＝2，∴CE＝，
∵AB⊥CD，AB为直径，∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．
20. 如图，阳信县某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．

（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）矩形茶园的面积是否有最大值？若有，求出的长．若没有，说明理由．
解：（1），，得，
自变量的取值范围为：，∴；
（2），
∵，∴当，S有最大值，最大值为，
答：长10米时，矩形茶园的面积有最大值．
21. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c均为常数）的图象经过两点A（2，0），B（0，﹣6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点C（m，0）（m＞2）在这个二次函数的图象上，连接AB，BC，求△ABC的面积．
解：（1）把（2，0）（0，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：b＝5，c＝﹣6，
∴二次函数的解析式y＝﹣x2+5x﹣6；
（2）由（1）得二次函数的解析式为：y＝﹣x2+5x﹣6，令y＝0，即0＝﹣x2+5x﹣6，解得：x1＝2，x2＝3．
∵m＞2，
∴C（3，0），
∴AC＝1，
∴S△ABC＝AC•OB＝×1×6＝3，
∴△ABC的面积＝3．
22. 如图，C是的直径BA延长线上一点，点D在上，．
求证：直线CD与相切．
若，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接，设，
∵，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，即与⊙相切．
（2）由（）证得，得∠CDO=90°，
在中，，则，，
∴易得，．
.
23. 如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝得：
1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为；
故答案：；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为A（1，3），B（3，1），
则≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
故答案为：
（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，
∵﹣＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值；
（4）以为直径，为中点，以为圆心作圆，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
解：（1）
，
即顶点D的坐标；
（2）当时，，
∴
令得，
解得，
设直线的解析式：，代入点B、C的坐标得，
，
，
∴直线的解析式为；
（3）如图，连接、，

设（），过点E作于H，
，
即当时，面积的最大值为；
（4）直线与圆M的位置是相交，理由如下，
如图，M为的中点，

，
即，
，
，
直线与圆M有两个交点，
即直线与圆M的位置是相交．