2023~2024学年山东省德州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.既轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
2. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，
故此选项不符合题意；
B、是关于x的一元二次方程，
故此选项符合题意；
C、化简得，未知数最高次数是1，不是关于x的一元二次方程，
故此选项不符合题意；
D、，当时，不是关于x的一元二次方程，
故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示，若抛物线的图象经过A，B，C三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 与y轴交于负半轴
C. 顶点在第二象限D. 对称轴在y轴右侧
【答案】D
【解析】根据题意，抛物线的图象经过A，B，C三点，则
开口向下，与轴交于正半轴，顶点在第一象限，对称轴在轴的右侧，故A，B，C选项错误，D选项正确；
故选：D．
4. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，，即，
用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是1，故选：A．
5. 如图，已知与关于点成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）
A. ∠ABC=∠A'B'C'B. ∠BOC=∠B'A'C'
C. AB=A'B'D. OA=OA'
【答案】B
【解析】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，
所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA'，
故选B．
6. 下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（ ）
A. ①二次函数，②一次函数B. ①一次函数，②二次函数
C. ①二次函数，②二次函数D. ①一次函数，②一次函数
【答案】B
【解析】①，是一次函数；
②，是二次函数；
故选：B
7. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，∴为等边三角形，∴．
∴，∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
8. 4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为本，设人均纸质阅读量年均增长率为，则根据题意可列方程（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设人均纸质阅读量年均增长率为，由题意可得：，故选C．
9. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
10. 小张用描点法画二次函数（，，是常数，）图象时，部分列表如下：
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（ ）
A. 图象顶点在第一象限
B. 点在该图象上，若，则
C. 和4是关于的方程的两根
D. 若恒成立，则
【答案】D
【解析】把代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为；
化成顶点式为，顶点坐标为，在第一象限，A正确；
当时，，当时，，抛物线开口向下，顶点纵坐标最大值，
所以，则，B正确；
当时，，
因为抛物线的对称轴是，
所以当时，，故和4是关于的方程的两根，C正确；
当时，即，
，
因为的最大值是3，故，D不正确；
故选：D．
11. 如图，在中，，轴，已知点C的纵坐标是6，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC绕点A旋转△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE=90°，AB=AD，BC=DE，
∵AB∥x轴，∴CB∥y轴，
设C点坐标为（a，6），
∵点C和点D关于原点成中心对称，∴D点坐标为（-a，-6），
∴DE=BC=a，∴B点坐标为（a，6-a），A点坐标为（-a，6-a），
∴AD=AB=6-a-（-6）=a-（-a），
∴12-a=2a，解得a=4，∴点A的坐标为（-4，2）．故选：C．
12. 函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13. 已知点与点关于原点对称，则______．
【答案】
【解析】∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______．
【答案】
【解析】∵二次函数，∴图象对称轴为，
∵与轴的一个交点坐标是，∴，
∴与轴的另一个交点坐标是．故答案为：．
15. 如图，等腰三角形ABC的直角边BC落在直线l上，若将绕点C顺时针旋转，使AC边正好落在直线l上，则旋转角的度数是__________
【答案】135°或315°
【解析】如图：
是等腰三角形，是直角，
，
根据题意，当在到范围内时，旋转角，
当在到范围内时，旋转角，
故答案为：或315°．
16. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则_______．
【答案】
【解析】，分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，则，
∵
∴原式，
故答案为：．
17. 如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高时，水柱落点距点为 _____．
【答案】4
【解析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出，
整理得①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，联立可求出，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得或舍去)．
故答案为：．
18. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是_____________（只填写序号）．
【答案】②③④
【解析】列表，
描点、连线，图象如下，

根据图象知：
①当时，x越小，函数值越大，错误；
②当时，x越大，函数值越小，正确；
③当时，x越小，函数值越大，正确；
④当时，x越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．
三、解答题（共7题，共78分）
19. 解下列方程：
（1） ；（2）．
解：（1），
则，
那么，解得，；
（2），移项：，
提公因式：,则或，解得，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．

（1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出；
（2）请画出关于原点O对称的，并写出点C的对应点的坐标．
解：（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作， 点C的对应点的坐标为

21. 如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
解：（1）二次函数的图象经过点，
，
二次函数图象的对称轴直线，
，
，，
二次函数的解析式为；
，
点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
，
设一次函数代解析式为，
，，
一次函数的解析式为；
（2）由图象可得，不等式的解集或．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，此方程一定有解；
（2）若直角三角形的斜边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
解：（1）关于的一元二次方程，
∴
，
∵，
∴无论为何值，此方程一定有解．
（2）设关于的一元二次方程的两个根据为，
①，直角三角形的斜边为，则这个直角三角形是等腰直线三角形，
∴，即，
∴，
∵是直角三角形，负值不符合题意，
∴，
∴，
∴；
②，直角三角形的斜边为，
∴根据勾股定理得，，变形得，，
∵关于的一元二次方程，
∴，，
∴，整理得，，
∴，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴；
综上所述，或．
23. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
（1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ；
（2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
解：（1）
，
故答案：；
（2）由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元．
（3）设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，（元）；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
24. （1）问题背景
如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．

请直接写出四边形的面积为 ．
（2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积．
解（1）由题可知．
故答案为25．
（2）如图，延长至，取，连接．

等边中，，，
，
四边形中，，
，
又，，
，
，．
，
，
为等边三角形且，
．
（3）如图，延长至，连接、、．

，，，
，
．
，，
，
，
．
25. 已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当时，点，若，求该抛物线的解析式；
（3）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
解：（1）当时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为
∵
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，由抛物线经过点，可知
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为：
当时，
∴抛物线的顶点D的坐标为；
过点D作轴于点G
在中，，，
∴
在中，，，
∴．
∵，即，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（3）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，
此时，．
过点作轴于点H
在中，，，
∴．
又，即．
解得：，（舍）
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴，
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
…
0
1
…
…
0
3
4
…
x
1
2
y
3
3
5
小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将绕点逆时针旋转；
第二步：利用与互补，
证明三点共线，
从而得到正方形；
进而求得四边形的面积．