2023~2024学年山东省德州市乐陵市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省德州市乐陵市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共48分）
1. 随机事件发生的机会是（ ）
A. 0和1之间的一个数B. 0
C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】由随机事件的定义可知：随机事件发生的机会在0到1之间，
故选A．
2. 下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 若方程的两根为和，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵方程的两根为和，
∴．
故选：C．
4. 下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A. 圆的周长与圆的半径之间的关系
B. 三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C. 在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D. 正方体的表面积与棱长的关系
【答案】D
【解析】A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系；
B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系；
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由表格数据，可知某一结果发生的概率约为，
∵，，，，
∴与最接近的是，∴该结果发生的概率约为．故选：B
6. “玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
故选：B．
7. 亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A. 1B. 0C. 7D. 9
【答案】D
【解析】设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
8. 某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A. 250元B. 500元C. 750元D. 1000元
【答案】B
【解析】每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为
，设日利润为，
∴，
∴最大利润为：元，故选：．
9. 中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（ ）
A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】如图：是绕点O顺时针旋转180°所得，

由旋转可知，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故选：．
10. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A. x2+2x﹣3＝0B. x2+2x﹣20＝0
C. x2﹣2x﹣20＝0D. x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：B.
11. 已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（ ）
A. 若时都有，则
B. 若时都有，则
C. 若时都有，则
D. 若时都有，则
【答案】C
【解析】∵抛物线经过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线．
对于A选项，若时，
∴．
又，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴，故A不符合题意；
对于B选项，若时，
∴．
此时关于对称轴对称的点为，
若，
∴或．
∴选项B不符合题意．
若时，
∴．
又，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴，故C符合题意．
若时，
∴．
又，
∴此时，y随x的增大而增大．
∴抛物线开口向下．
∴，故D不符合题意．
故选：C．
12. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
两边平方得，
整理得，
解得，（舍去），
即则．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度

【答案】60
【解析】图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．
故答案：．
14. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_____________．
【答案】13
【解析】卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，
∴是物理变化的概率为：，
故答案为：．
15. 某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______．
【答案】10%
【解析】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为x，根据题意可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
∵
故答案为：10%．
16. 由的图象知：当x满足条件______时，．
【答案】
【解析】∵二次函数解析式为，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标为、，
∴由函数图象可知当时，，
故答案为：．
17. 如图,已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．
【答案】（，）
【解析】∵点A是抛物线图像上一点,故设A（x，x2），
∵将点A向下平移2个单位到点B，故B（x，x2-2）
∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，
过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，
AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=30°
故CD=，BD=，
故C（x+，x2-3），
把C（x+，x2-3）代入，
∴x2-3=（x+）2，
解得x=-
∴A（-，3）
故答案为：（，3）．
18. 小文同学在一次“项目化”学习中，有一种用特殊材料制成的质量为30克的“泥块”，把它切为大、 小两块，将较大的“泥块”放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小的“泥块”放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，依据杠杆的平衡原理，小文同学算出了其中较大“泥块””的质量，较大“泥块”的质量为_____．
【答案】18
【解析】设较大泥块的质量为克，则较小泥块的质量为克，
若天平左，右臂长分别为cm，cm，
由题意得：，
两式相除得，
解得，．
经检验都是原方程的解，
根据题意应该舍去，
当时，，
较大的泥块的质量为18克，较小的泥块的质量为12克，
故答案为：18克．
三、解答题（共7小题，共78分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
或，
解得，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到，画出．
解：（1）与关于原点成中心对称
，，，
，，；
（2）如图，即为所作图形：
21. 某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得，
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
（1）数学问题中横线处短缺的条件是______；
（2）所列方程中未知数x的实际意义是____________；
（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
解：（1）根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．
故答案为：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．
（2）根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了元．
故答案为：单价降低了元；
（3）根据题意，得，
整理，得，
解之，得，，
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
∴．
答：定价为每件68元时，才能使以后每个月利润达到7920元．
22. 如图是某停车场，现仅剩下“”、“”、“”、“”、四个车位
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；
（2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率．
解：（1）共有4个车位，
∴这辆车停在“”号车位的概率是，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在不相邻车位的结果有6种，
∴两人停车在相邻车位的概率为．
23. 如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）求这枝垂柳的最高点到地面的距离；
（3）踩着高跷的小明头顶距离地面，他从点出发向点处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
解：（1）由题意得，抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的顶点的坐标为，
∴这枝垂柳的最高点到地面的距离为；
（3）在中，
当时，得，
解得：（不合题意，舍去），，
∴小明走出远时，头顶刚好碰到树枝．
24. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

（1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】如图2，点D等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
（3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案）
解：（1），
∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）连接，如图，

由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
25. 在平面直角坐标系中，已知，．抛物线（a为常数）与y轴相交于点P．
（1）点P的坐标是 ．
（2）若抛物线（a为常数）经过点．
①求的值．
②当时，求的最大值和最小值．
（3）若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围．
解：（1）∵抛物线（a为常数）与y轴相交于点P．
∴当时，
∴
故答案为：．
（2）①抛物线经过点，
，
解得；
②抛物线开口向下，它的对称轴为直线，
又∵ ，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，y有最大值，最大值为．
（3）当与恰有一个交点时，
①当顶点坐标上，
则
则
②当抛物线经过点时，
解得：
当抛物线经过点时，
解得：

则当与恰有一个交点时，或或．
实验次数
100
500
1000
2000
4000
频率
0.37
0.32
0.345
0.339
0.333