2023~2024学年山东省济南市钢城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市钢城区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。
1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确．
2.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 若锐角，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
故选：B．
2. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；
B、是反比例函数，不是二次函数，故本选项不正确；
C、符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确．
故选：C．
3. 若反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
∴图象一定经过的点是，
故选B．
4. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是x＝﹣1
C. 顶点坐标是（1，2）D. 最大值是2
【答案】C
【解析】由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，选项A不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误；
顶点坐标为（1，2），选项C符合题意；
最小值为2，故选项D错误．
故选：C．
5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分两种情况讨论：
①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限；
综上分析可知，只有选项A符合题意．
故选：A．
6. 下表是小明通过计算得到的函数的几组对应值，则方程的一个实数根可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为，
∴，y随x的增大而减小．
时，，相应的．
∴方程的一个实数根；
故选：B
7. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 24
【答案】B
【解析】过点作于，如图，
四边形为平行四边形，
轴，
，
，
，
故选B．
8. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的顶点坐标为，开口向上
绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下，
所得到的图象的解析式为，
故选：C．
9. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形为正方形，．
∴，，
∴，
∴
∵，，则，
设，则，∴
解得：或
∵，
∴，
∴,
故选：C．
10. 如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接交x轴于点，则，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，

∵，为反比例函数图象上的两点，
∴，，则，，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴，
令，由得，
∴，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题110分）
一、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】反比例函数的图象在第二、四象限，
，
，
故答案为：．
12. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为______．
【答案】米
【解析】如图，过点作于点．
在，，
所以．
由题意得，
∴，
故答案为：米．
13. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________．
【答案】
【解析】∵抛物的顶点坐标为，
∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为，
∴所得抛物线的解析式为．
故答案为．
14. 已知二次函数 部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______.
【答案】
【解析】根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），
所以该点适合方程y=-x2+2x+m，代入，得-32+2×3+m=0，
解得m=3，
把m=-3代入一元二次方程，得，
解得x1=3，x2=-1；
15. 我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？______．
【答案】尺
【解析】设这个秋千的绳索，
则，
，
，
∵，
，
，
，
这个秋千的绳索有尺．
故答案为：尺
16. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则_______．
【答案】15
【解析】作轴于H．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵反比例函数的图像经过点D，∴．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
解：原式
18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）这个反比例函数的解析式是 （）．
（2）若使用时电阻，则电流I是
（3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？
解：（1）设反比例函数式，∵把代入反比例函数式，
∴，∴．故答案为：．
（2）当，，故答案为：3A；
（3）当A时，则，∴，
∴用电器的可变电阻至少是．
19. 如图，测绘飞机在同一高度沿直线由向飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点处测得目标A的俯角为，航行1000米后在第二观测点处测得目标A的俯角为．

（1）求的度数；
（2）求第二观测点与目标A之间的距离．
解：（1），，
；
（2）如图：过点C作于点D，

，米
在中，(米)，
中，(米)，
故第二观测点与目标A之间的距离为米．
20. 如图，直线的图象与反比例函数的图像交于点A．点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围．
（3）求的面积．
解：（1）的图像经过，
∴．
∴．
时，，得．
∴．
设一次函数解析式为，则
，
解得
∴解析式为．
（2）如图，由，得一次函数的值大于反比例函数的值时，
（3）如图，直线交轴于点D，
时，；时，，得，
∴
∴，．
∴．

21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件获利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价x元，商场平均每天赢利y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式，并化成一般式；
（2）若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？
解：（1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，
依题意，得：；
（2）当时，
，
整理，得：，
解得：，，
让顾客得到实惠，
．
答：每件衬衫应降价20元；
22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
（1）______，______，______；
（2）t为何值时的面积为？
（3）t为何值时的面积最大？
解：（1）根据题意得：，，
∴，
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，∴当为3时的面积最大，最大面积是．
23. 投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到）
解：过点A作，垂足为G，过点D作，垂足为H，
则，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
∴光源投屏最高点与地面间的距离约为．
24. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：

（1）根据表中数据预测足球落地时，______m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
解：（1）由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，；
（2）由（1）知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
（3）当，
∴，
∴守门员不能成功防守．
25. 我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小明认为：函数也可以由反比例函数通过平移得到，小明通过研究发现,事实确实如此，并指出了平移规律，即只要把（双曲线）的图像向左平移1个单位（如图1虚线所示）,同时函数的图像上下都无限逼近直线！如图2，已知反比例数C：与正比例函数L：的图像相交于点和点B．

（1）写出点B的坐标，并求和的值；
（2）将函数的图像C与直线L同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和，已知图像经过点；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式的解集为 ；
解：（1）将代入得，解得：；∴．
将代入得；∴．
由题意得，解得：或，∴．
（2）①将代入得，解得：；
故答案为：．
②平移后的图像对应的函数关系式为，故答案为：．
③如图，当时，解得：，
结合图像，的解集为或．
故答案为：或．

26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
（2）应为直角三角形．理由如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
∴为直角三角形．
（3）存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点坐标为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的P点有3个，分别为，，．
x
y
0.51
151
0
9
12
15
18
21
…
0
5
…