2023~2024学年山东省济南市济阳区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市济阳区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 40分）
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
故选：A.
2. 已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、由，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；
C、由，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
3. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量四边形的三个角是否为直角
B. 测量四边形的两组对边是否相等
C. 测量四边形的对角线是否平分
D. 测量四边形的其中一组邻边是否相等
【答案】A
【解析】A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量四边形的其中一组邻边是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
4. 点和点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点和点在反比例函数的图象上，
，
解得，
故选：D
5. 若关于x的方程没有实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】关于x方程没有实数根，
∴，
∴．
故选B．
6. “敬老爱老”是中华民族优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
7. 菱形中对角线相交于点，且，若，，则的长是（ ）

A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
则根据勾股定理可得：，
∵，
∴．故选：A
8. 如图是一个圆形的运动场地，其中大圆直径恰好等于其内部两个完全一样的小圆的直径和，现向该场地随机投掷一颗玻璃珠（假设它落在场地内的每一点都是等可能的），则它落在阴影部分的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设小圆的半径为，则大圆的半径为，
∴阴影部分的面积为，
∴玻璃珠落在阴影部分的概率是；
故选A．
9. 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为,他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，∴，∴，
∵，，，∴，解得，
∵眼睛D离地面的高度为，∴，∴，
故选：B．
10. 如图，动点P在函数的图象上运动，轴于点M，轴于点N，线段、分别与直线交于点E、F，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】作轴，
的坐标为，且，，
的坐标为，M点的坐标为，
，
令，则，令，则，
则，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
，
点的坐标为，
同理可得出E点的坐标为，
，，
，即．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 某反比例函数图象过点，则该反比例函数的解析式为___________．
【答案】
【解析】设反比例函数为： 而反比例函数的图象经过点，

所以反比例函数为： ．
故答案为：．
12. 若关于x的方程：有一个根为2，则另一个根为______．
【答案】
【解析】设方程的另一个根为，则：，
∴；
故答案为：．
13. 如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号）

【答案】①③
【解析】图①中三角形的三边长分别为：，2，；
图②中三角形的三边长分别为：，，3；
图③中三角形的三边长分别为：2，，；
图④中三角形的三边长分别为：，3，；
∵，，∴，
∴网格中相似的两个三角形是①③，
故答案为：①③．
14. 如图，在中，D是边上的点，，，，则的长为______．

【答案】2
【解析】，，
，
，即，
解得：，即的长为2．
故答案为：2．
15. 定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵，∴可变为：，
整理得：，
∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，
∴，解得：，故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．

【答案】
【解析】如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分）
17. 解方程：.
解：方程，
，
，
即
∴，
18. 已知：如图，在矩形中，．求证：

证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和
∴，
则．
19. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值．
解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得或0．
20. 如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为，，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，.
答：新的矩形绿地的长为，宽为.
21. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为
22. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，试求四边形的面积．
解：（1）∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴
∴，
∴四边形是菱形；
（2）如图所示，连接，与交于点O，
∵四边形是菱形，∴互相垂直且平分，
∴，
根据勾股定理得，
∴，∴四边形的面积．

23. 如图，在中，，，．点、分别在、上，且点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为（）．

（1）当时，求的值；
（2）在运动过程中，是否存在一个时刻，使线段的长度为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可知， ， ，
，
，，，

，，，即，解得：，
（2）存在，理由如下：
，，即
整理得：，解得：（舍去），
24. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）恒温阶段保持的时间有多少小时？
（3）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
解：（1）设对应函数解析式为，
把代入中得：
，
，
当时，，
解得，即；
；
（2）由（1）知，
，
恒温阶段保持的时间有：（小时），
答：恒温阶段保持的时间有10小时；
（3）设的解析式为：，
把、代入中得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，解得，
，，（小时），
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．
25. 阅读以下材料
通过列表描点我们可以画出的图象如图：
观察图象可以得出以下结论：
时，函数有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是，若y随x的增大而减少，x的取值范围是．
提出问题：当时如何求函数最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图像探索函数（）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（）的图象：
（2）观察猜想：观察该函数的图象，
当______时，函数（）有最______值（填“大”或“小”），是______．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是______，
若y随x的增大而减少，x的取值范围是______．
（3）知识能力运用：直接写出函数
当______时，该函数有最______值（填“大”或“小”），是______．
解：（1）当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
将上述的对应值填入表格如下：
将表格中， 的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出各点，再按照横坐标由小到大用一条光滑的曲线连接起来，就得到函数的图象如图所示，
（2）观察该函数的图象，
当时，函数有最小值，最小值是2，
若随的增大而增大，的取值范围是，
若随的增大而减少，的取值范围是．
故答案为：1，小，2，，；
（3）画出函数的图象如图所示：
观察函数的图象得：当时，该函数有最大值，最大值是．
故答案为：2，大，．
26. 如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，．
（1）写出和的数量关系，并证明．
（2）求证：
（3）若正方形的边长为3，，求的长．
解：（1），理由如下：
四边形正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
；
（3），，
，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
1
2
3
4
2