2023~2024学年山东省济南市章丘区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市章丘区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了 若，则的值为，25=24， 如图，∽，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．圆锥的主视图是三角形，不合题意；
B．球的主视图是圆，符合题意；
C．正方体的主视图是正方形，不合题意；
D．圆柱的主视图是长方形，不合题意；
故选：B．
2. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴==，
故选：D
3. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵A（3，﹣2）在双曲线上，
∴，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为≠k，所以该点不在双曲线上．故A选项错误；
B、因为≠k，所以该点在双曲线上．故B选项错误；
C、因为≠k，所以该点不在双曲线上．故C选项错误；
D、因为＝k，所以该点不在双曲线上．故D选项正确．
故选D．
4. 顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形
C. 对角线相等的四边形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】如图

连接、，
、、、分别是四边形各边中点，
，，
即，，，
同理可证，，
当时，，
即，四边形是菱形，
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，
故选：．
5. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A. 2B. 12C. 18D. 24
【答案】C
【解析】小球的总数约为:6÷0.25=24(个)
则红球的个数为:24－6=18(个)
故选C.
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
7. 如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将沿对角线折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵恰好平分，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故选：B．
8. 如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
9. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
10. 在正方形中,,E是的中点，在延长线上取点F使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，以下结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】∵正方形中，，E是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，故①对；
，
，
，
，
，
，故②对；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误；
在中，，
，
，，
∴，
，
，
，
，
，故④对，
故选：B．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】，，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
13. 一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是____.
【答案】
【解析】画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到的球是一白一红的概率为，
故答案为：．
14. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵已知α、β是方程的两个实数根，
∴，∴，
∴．故答案为：．
15. 如图中，直角顶点坐标原点，且，点在上，点在上，则__________．

【答案】
【解析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图：

∵，轴，轴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∵点在上，
将代入得：，
∴，
则，
故，
∵点在上，
将代入得：，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，为对角线，将矩形沿、所在直线折叠，使点A落在上的点M处，点C落在上的点N处，连接，交于点O．已知，则的长为________．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
，
，
∵将矩形沿、所在直线折叠，使点A落在上的点M处，点C落在上的点N处，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
解得，，即，
，
同理，，
，
设，则，
∴，
解得，，即，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）
（2）
解：（1）
由题意得，，
则，
∴，
即，；
（2）
可变为，
则或
解得，；
18. 如图，在矩形中，于点于点．
求证：．

解：∵四边形是矩形，
∴
，

又∵
19. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．

解：∵，
∴，
∴，即，
解得2，
故CD长为2．
20. 如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为．
（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来两倍，画出；
（2）A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ；
（3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ．
解：（1）如图，即为所求；
（2）A点的对应点的坐标是，
的面积；
故答案为：，10；
（3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是．
故答案为：．
21. 如图,O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形；
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
O为平行四边形ABCD的对称中心，
，
在与中，
，
，
，
四边形AFCE是平行四边形，
，，
，
四边形AFCE是菱形；
（2）四边形AFCE是正方形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
，
．
22. 为提高学生综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
解：（1）本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2），
故答案为：72；
（3）（人），
故答案为：560；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
23. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24. 物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，请解答下列问题．

（1）如图1，乙同学测得旗杆在地面上的影长为6米，那么旗杆的高度为 米．
（2）如图2，丙同学想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长为3米，墙上的影长长为1米，则树的高度为多少？
（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长为4米，坡面上的影长为2米，已知斜坡的坡角为，则电线杆的高度是多少？
解：（1）∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，
∴旗杆在地面上的影长为6米，旗杆的高度为12米，
故答案为：12；
（2）如图2，连接并延长，交直线于点H，

米，
米，
米，则，
解得：，
答：树的高度为7米；
（3）如图3，连接并延长，交直线于点C，过点K作于点N，

在中，米，，则米，
米，
由题意得：米，
米，
则，
解得：米，
答：电线杆的高度是米．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

（1）求反比例函数的表达式：
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，∴，
∴，解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．

26. （1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．
填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；
②线段之间的数量关系为 ；
③的度数为 ；
（2）类比研究：
如图2,和均为等腰直角三角形,,直线和直线交于点F，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在中，，点D在边上，于点E，，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线经过点B时的长．
解：（1）∵和均为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：①和；②；③；
（2），．理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，，
，，
，
即，
∵，
，
，，
，
，
；
（3）如图3中，
，
∴A，B，C，E四点共圆，
，
，
，
，
∴，
，
在中，，
，
，
，
如图4中，当D，在同一直线上时，同法可知，
综上所述，或．