2023~2024学年山东省临沂市河东区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省临沂市河东区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题解答要写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是关于x的一元二次方程的解，则( )
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】由题意，得：，∴，∴；
故选B．
2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，整理得：，配方得：，即．
故选：B．
3. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点，
由二次函数可知，抛物线与轴交于和，顶点为，
观察四个选项A、C、D都不可能，
选项B中，由直线经过一、三、四象限可知，由抛物线可知开口向下，顶点在的正半轴，则，故B有可能；故选：B．
4. 抛物线y＝（x﹣3）2+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A. 先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B. 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
C. 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
D. 先向右平移3个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【解析】抛物线y＝x2向右平移3个单位可得到抛物线y＝（x﹣3）2，
抛物线y＝（x﹣3）2再向上平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣3）2+1．
故平移过程为：先向右平移3个单位，再向上平移1个单位．故选：C．
5. 已知抛物线的对称轴为，若点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，
∵点在抛物线上，且，∴，故选C．
6. 如图，是的直径，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，∴；
故选B．
7. 如图，在正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵根据中心对称图形的概念，绕某点旋转后可重合，白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有种情况（如题标注），
∴使图中黑色部分的图形构成一个中心对称图形的概率是，故选D．
8. 将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，
三角板绕原点顺时针旋转，
旋转后与轴夹角为，
，
，
点的横坐标为，
纵坐标为，
所以，点的坐标为．
故选：C．
9. 某商店将一批秋装降价处理，经过两次降价后，由每件元降至元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得
．
故选：A．
10. 如图，是半圆直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，连接，∵是半圆O的直径，∴，
∵，∴，∴，
故选C．
11. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. π﹣1B. π﹣2C. π﹣3D. 4﹣π
【答案】B
【解析】由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，故选：B．
12. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论:①;②;③;④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】有图意可得：抛物线与x轴有两个交点，
所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故①正确；
由抛物线开口向下，可得a＜0，由抛物线与y轴交于原点上方，可得c＞0，∴ac＜0，故②正确；
由抛物线对称轴为直线且a＜0，可得，故③错误；
由抛物线顶点坐标为（m，3），可得当x=m时，y有最大值为3
∴关于x的一元二次方程的解为，即有两个相等的实数根，故④正确
正确的共3个，
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 设是一元二次方程的两根，则_______．
【答案】0
【解析】、是方程的两根，
，，
．
故答案为0．
14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________________．
【答案】
【解析】作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴也为等腰直角三角形，
∵，
在中，，
故答案为：．
16. 如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____．
【答案】或
【解析】∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，∴OB＝BC＝1，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC＝OB＝，
∴AC＝；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC＝，故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
解：（1），，，
解得：；
（2），，解得：．
18. 已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；
（2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
解：（1）∵设二次函数的解析式为，
由题意得：当时，，
∴,
∵时，，当时，，
∴，
解得，
∴；
∵当时，，
∴根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图：
（2）由图可得，抛物线的顶点为，
∴当0≤x≤4时，．
19. 某市某区在2021年4月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查，调查结果根据年龄x(岁)分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）抽取的C类市民有 人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
解：（1）根据条形统计图，得A、B、D的总人数为20+20+50=90人，
根据扇形统计图，得其百分数为1-25%=75%，
∴样本容量为：90÷75%=120(人)，
∴C类人数是：120×25%=30(人)，
故答案为：30；
完善统计图如下：
（2）根据题意，得 120÷5%=2400(人)．
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中一男一女的有8种等可能性，
∴两人恰好是一男一女概率是：．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
解：（1），
∵，
∴该方程总有两个实数根．
（2）设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
21. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
解：（1）根据旋转可得：，，
，
，
，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
解：（1）∵为的直径，
∴．
∵分别平分和，
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）如图，连接,交于点F．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．

x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
…