2023~2024学年山东省临沂市莒南县九年级(上)期中考试 数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省临沂市莒南县九年级(上)期中考试 数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 若抛物线平移得到，则必须（ ）
A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
【答案】D
【解析】A：平移后抛物线的解析式为：，
即，不符合题意；
B：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
D：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意；
故选：D
3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由原方程移项，得，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方1，得，，
∴．
故选：C．
4. 下列事件中是不可能事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月
C. 旭日东升D. 瓜熟蒂落
【答案】B
【解析】A、守株待兔，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，故该选项正确，符合题意；
C、旭日东升，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
D、瓜熟蒂落，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（ ）

A. B. C. 3D. 18
【答案】D
【解析】连接、，如图：

的周长等于，
的半径，
六边形是正六边形，
，
等边三角形，
，
即正六边形的边长为3，
∴正六边形的周长为18，
故选：D．
6. 如图，是的直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，如图：

设，则，
则的长为，的长为，
∵，
即，
整理得：，
解得：，
即，，
∵，
∴．
故选：D．
7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. D. 且
【答案】A
【解析】∵一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且．
故选A．
8. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（ ）
A. 20B. 24C. 30D. 36
【答案】A
【解析】设白球的个数是，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
即：口袋中的白球有20个，
故选：A．
9. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（ ）

A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】连接，

∵正方形边长为4，，
∴，，，
∴在中，，
∴，∴，
∴在中，，
故选：C．
10. 如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方形中，，
∵，∴，
∴，∴点E在以为直径的圆上，
取中点G，连接，当过点G时，有最小值，

又∵按逆时针方向旋转90°得到，
∴，
∴此时也取最小值，
∵，为的半径，即，
∴此时，
∴，
即的最小值为，
故选：B．
11. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表，下列结论错误的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 这个函数的最大值大于6
C. 抛物线开口向下D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项不符合题意；
∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴抛物线的开口向下，则，抛物线开口方向向下，故C选项不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，可知最大值大于6，故B选项不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小，故D选项符合题意．
故选：D．
12. 定义：若函数，则该函数最大值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】设直线，抛物线，
联立直线与抛物线方程得，解得或，
直线与抛物线交点坐标为，，
如图，
时，，
由图象可得函数的最大值为，
时，，
由图象可得函数的最大值为，
当时，，由图象可得，
∴函数的最大值为4，故选：D．
二、填空题
13. 如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是______．
【答案】
【解析】随机闭合开关中的两个，可以闭合、；、；、三种情况，其中闭合、或、时，灯泡可以发光，
∴．
故答案为：．
14. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，且与点O的距离为，如果以的速度沿A向B的方向移动，则经过____秒后与直线CD相切．
【答案】4
【解析】∵的圆心在射线上，
∴如图，当移动到与直线CD相切于点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，此时，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点B正好落在线段上时，则旋转角________度．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵绕点C顺时针旋转α得到，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
16. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______填序号．

【答案】②③⑤
【解析】由于抛物线的开口向下，因此，
由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以，
由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此，
所以，
因此①不正确；
由图象可知，当时，，即，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
与对应的函数值相同，等于c，c大于0，
当时，，因此③正确；
因为对称轴为，即，
而当时，，
所以，
即，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大，
当时，，
即，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
三、解答题（共72分）
17. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根．
解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）或；
∴一元二次方程化为：，
∵，∴，
∴．
18. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式．某超市除接收顾客的现金支付外，还支持“微信”“支付宝”“银行卡”“云闪付”四种支付方式，小马、小王和小张在该超市购完物后，都从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”四种支付方式中随机选一种方式进行支付，每种方式被选择的可能性相同．
（1）求小马选择支付宝支付的概率；
（2）若小王选择了微信支付，求小张和小王选择同一种支付方式的概率．
解：（1）小马选择支付宝支付的概率为；
（2）把“微信”“支付宝”“云闪付”“银行卡”四种支付方式分别记为A、B、C、D，
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择的是同一种支付方式的有4种，
∴．故答案为：．
19. 如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．

（1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
解：（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．

（2）画法不唯一，如图3或图4．

20. 如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
（1）如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
（2）如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）当时，根据解析（1）可知，为等腰直角三角形，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
当时，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点G为的中点，
∴，
∴；
当时，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点G为的中点，
∴，
∴；
当时，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点G为的中点，∴，∴，
∴点G在以为直径的圆上，
连接、交于点O，过O作于点H，延长，交于点G，连接，，如图所示：
∵，一定，
∴最大时的面积最大，
∵此时最大，∴此时的面积最大，
∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．
21. 根据以下素材，探究完成任务．
解：任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
任务二：建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
22. 如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
解：（1）如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
23. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
解：（1）∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
（2）设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
（3）如图：
∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
…
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
A
B
C
D
A
B
C
D
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．