2025届上海市实验学校高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届上海市实验学校高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则_____
【答案】
【解析】.
2. 设函数若 则实数a的值为____________.
【答案】或
【解析】已知函数，
当时，，解得或，舍去，所以；
当时，，得.
综上，或.
3. 函数的值域是_____________．
【答案】
【解析】∵y＝的定义域为R，
∴方程y(1＋x2)＝x有实数解，即方程yx2－x＋y＝0有实数解，
当y＝0时，x＝0，
当y≠0时，则≥0，即1－4y2≥0，解得≤y≤且y≠0，
综上，函数的值域为：.
4. 定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____．
【答案】
【解析】由题设中新集合定义可得：
，，故，
故其子集个数为，
故答案为：.
5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则________
【答案】
【解析】，
则由，有，即，
的周期，故，又，故，
则有，解得，
又，故.
6. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为______.
【答案】
【解析】由两边平方得，
即，
即，解得.
7. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________.
【答案】13
【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，
由根与系数的关系可得，
整理得，
设、、在复平面上对应的点分别为、、，
则，
可知A，B关于x轴对称，
若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，
即，解得，
所以.
8. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
直线，由，解得，
则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短，
而，所以最短弦长为.
9. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】，
因为函数在区间上单调递减，
所以，即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，所以的最大值为.
10. 设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为_________
【答案】
【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，
根据椭圆的定义可知，所以，
则，
所以最小时，即最小，
即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长，
根据点到直线的距离公式可得，
所以.
11. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______．
【答案】
【解析】设，则，，
所以曲线在点处的切线方程为,
化为．
设，则，
又设切线与曲线相切的切点为，
由题，得，解得，则切点为．
因为切点在切线上，则．
12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________
【答案】
【解析】令，则有，即
当时，，又，∴
即当时，的值域为
∴当时，的值域为，
，
∴当时，的值域为，时，的值域为，
依此类推可知，当时，的值域为，
∴当时，的值域为
又，当时，，
∴
综上，当 时，函数的值域为.
二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立，
若直线和直线平行，
当时，直线分别为和，不满足条件，
当时，满足，即，解得或，
当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立，
综上“”是“直线和直线平行”的充要条件，
故选：C．
14. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上.
故选：D.
15. 在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为4，
则，
，，
＝＝，
平面的法向量，
∴＝，∴＝，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，＝，
∵，∴.
故选：C.
16. 如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（ ）
命题甲：存在曲线满足要求
命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求
A. 甲命题正确，乙命题正确B. 甲命题错误，乙命题正确
C. 甲命题正确，乙命题错误D. 甲命题错误，乙命题错误
【答案】B
【解析】由图知点，
直线的斜率分别为，
则直线AB的方程为，直线CD的方程为，
对于命题甲：曲线的导函数为，
当时，，当时，，代入得
，即，
又由，得，
而的取值集合为，
要，
必有，
又当时，，，
因此不存在，即方程组中a，b没有解，命题甲不正确；
对于命题乙：当时，由，求导得，
有，即，
即当时，曲线满足要求，命题乙正确.故选：B.
三、解答题（本大题满分78分）
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，．
（1）求证：平面PBC；
（2）求四面体的体积．
解：（1）连结，交于点，
因为点分别是的中点，所以，
因平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以是等边三角形，
取的中点，面内连结，则，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，，且，
所以.
18. 已知向量，，设函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值．
解：（1），
，
又，则，故，
因此可得，
即函数的值域为．
（2）由（1）可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，即面积最大值为1．
19. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.

已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.
（1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？
（2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.
解：（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；
这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，
所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟，
由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为，
所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占，
故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意；
（2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下：
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，
即得，即有，
而，故，
因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个.
20. 设椭圆的离心率，过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆被直线截得的弦长.
（3）直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点）
解：（1）由题意可知，解得，
椭圆的方程为．
（2）设椭圆与直线的交点为，，，，
联立方程，消去得，
，，
因此
（3）设，，
联立方程，消去得，
所以，，，得
由，即
，
，均符合，
故
21. 已知函数，若存在实数，使得，则称与gx为“互补函数”，为“互补数”.
（1）判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由.
（2）已知函数为“互补函数”，且为“互补数”.
（i）是否存在，使得？说明理由.
（ii）若，用的代数式表示的最大值.
解：（1）因为，则，
所以在单调递增，在单调递减，
则，所以，
因为，则，
所以gx在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故不存在实数，使得，则与gx不是“互补函数”.
（2）（i）存在，使得.
由，得，
则，故存在.
（ii）令，则，
两式相加可得，
两式相减可得
所以，
故.
令，
则.
.
因为，所以，
故当时，h'x