2025年上海市1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02(全解全析)数学试卷

这是一份2025年上海市1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02(全解全析)数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合， 则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：
2．已知i为虚数单位，计算： ．
【答案】
【解析】
故答案为：
3．已知向量，，则在方向上的数量投影是 .
【答案】
【解析】由向量，，
则，，
又在方向上的数量投影为，
故答案为：.
4．若，则有最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以有最大值为.
故答案为：.
5．表面积为的球的体积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，则，可得，
故该球的体积为.
故答案为：.
6．在中，，，，则 .
【答案】
【解析】在中，根据余弦定理可得：，
设，则，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
7．如果100件产品中有3件次品，那么返回抽取的2件产品都是次品的概率是 ．
【答案】
【解析】由题意得每一次抽到次品的概率都为，
所以返回抽取的2件产品都是次品的概率为.
8．若，则 ．
【答案】
【解析】.
9．上海申花队一线队员共26名球员，其年龄分布茎叶图如图所示：则申花队球员年龄的第75百分位数是 .
【答案】
【解析】，该国家队球员年龄的第75百分位数为第20名球员的年龄为31岁．
10．函数的零点是 .
【答案】
【解析】令，得，
即函数的零点是.
11．如图，正方体中，为的中点，为正方形的中心，则直线与侧面所成角的正切值是 .
【答案】
【解析】如图所示，连接，
在正方体中，可得平面，
所以即为与平面所成的角，
设正方体的棱长为，则，
在直角中，.
12．已知，则的解集为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，，
则是R上的奇函数，
函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，
不等式，因此，
即，解得或，
所以原不等式的解集为.
二、单选题
13．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，A选项错误；
当，时，，，，B选项错误；
∵且，∴，C选项正确；
当时，，D选项正确.
故选：C.
14．已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（ ）
A．、B．、
C．、D．、
【答案】D
【解析】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量，
设，故，无解，故、为不共线的非零向量，
故可以作为一组基底，A错误；
B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误；
C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误；
D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确.
故选：D
15．已知为幂函数，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】因为是幂函数，所以，得，
则，．
故选：C
16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，
所以它的一个样本空间为.
故选：B.
17．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以函数为奇函数，
又恒成立，所以在上为减函数，故B正确；
定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；
由正弦函数的单调性可得在为增函数，
又，所以在区间上是严格增函数，故D错误；
故选：B.
18．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知，得，
得，即方程的根为.
故选：A.
19．若与互为相反数，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】与互为相反数，则，即，则.
故选：D.
20．下列不等式中，解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；
对于B，令，则，满足，所以其解集不为，
故B错误；
对于D，令，则，满足，所以其解集不为，
故D错误；
对于C，由得，
即，解得，故其解集为，故C正确.
故选：C.
21．已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立；
反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立．
所以“”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
22．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压（单位：kPa）的分组区间为，.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数是（ ）.
A．8B．12C．16D．18
【答案】B
【解析】由直方图可得第一组与第二组的频率之和为，第一组和第二组共有20人，
所以样本容量为，所以第三组的人数为人，
第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的有12人.
故选：B.
23．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误；
B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误；
C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确；
D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误；
故选：C.
24．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】依题意，设年平均利润为，则（），
当时，
当且仅当，即时取等号；
当时，则当时取得最大值且，
又，所以当时年平均利润取得最大值.
故选：C
25．设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的图像关于直线对称
C．函数在上是严格增函数
D．函数在上的值域为
【答案】D
【解析】因为，
将函数的图像沿轴向右平移个单位得到，
又，所以为奇函数，故A错误；
因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误；
当时，因为在上单调递减，
所以函数在上是严格增减函数，故C错误；
当时，所以，
则，即函数在上的值域为，故D正确.
故选：D
26．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（ ）
（1），（2），（3）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】因为，，由②得，即，
故，即，由③得，（1）正确；
，，由②得，故，（2）正确；
若，则，若，则，
若且，因为，，由②得，
由③得，，又，
由②得，由③得，
由②得，（3）正确.
故选：D
三、解答题
27．如图，在四面体中，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.
解：（1）在四面体中，由，是的中点，
得，而平面，
所以平面.
（2）由（1）知，是二面角的平面角，
在等腰中，，，则，
同理，而，因此是正三角形，，
所以二面角的大小为.
28．已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
解：（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由，得，
化简得，即，则∈[﹣1，1]，
所以，函数f（x）的零点为；
（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，
则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时，，
则；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．