2025年上海市1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01(全解全析)数学试卷

这是一份2025年上海市1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01(全解全析)数学试卷，共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设全集，，则 .
【答案】
【解析】因为，，
所以.
2．若复数，为虚数单位，则的实部为 .
【答案】2
【解析】，故实部为2，
3．不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由，得，
解得或，
原不等式的解集为.
4．已知，向量，，若，则实数的值是 .
【答案】3
【解析】依题意可知，即，
解得.
5．函数的定义域为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】要使函数有意义，则应有，所以.
6．某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取 名.
【答案】10
【解析】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取名，
，.
7．已知，则 .
【答案】
【解析】由.
8．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 .
【答案】
【解析】因为底面积为，故底面半径为3，而高为4，
故侧面积为.
9．在中，若，且的面积为，则 ．
【答案】
【解析】因为，且的面积为，
，解得：.
10．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率 ．
【答案】
【解析】任取一卦的所有可能的结果有8卦，
其中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件有卦，
所以恰有2根阳线和1根阴线的概率为.
11．已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是.
12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个.
【答案】32
【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个.
二、单选题
13．设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第三象限
C．第一象限或第三象限D．第二象限或第四象限
【答案】C
【解析】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C.
14．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解不等式得：或，
因为是或的真子集，
所以，是或的充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
15．命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（ ）.
A．存在实数x，使得B．对任意的实数x，都有
C．存在实数x，使得D．存在无数个实数x，使得
【答案】A
【解析】全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是存在实数x，使得，
故选：A．
16．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5、6、7、8、9、5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】将数据排序：5、5、6、7、8、9，则
所以这组数据的第80百分位数是第5个数据，为8.
故选：D.
17．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】D
【解析】.
故选：D.
18．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【解析】由题意知，，，
则，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
故当时，.
故选：B.
19．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【解析】，又在R上是奇函数，
故.
故选：B
20．在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
【答案】B
【解析】甲的平均值为：，
甲的方差为：
乙的平均值为：，
乙的方差为：.
故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
故选：B.
21．若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ）
A．-1B．1C．0D．4
【答案】C
【解析】由题意可得，即，
所以.
故选：C.
22．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误；
对于选项B：若，，则与不一定垂直，
且，所以与不一定垂直，故B错误；
对于选项C：若，，可知，
且，所以，故C正确；
对于选项D：若，，，则可能有，故D错误；
故选：C.
23．把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】
，
则，
将向右平移个单位可得到，
故选：D.
24．在△ABC中，现有以下两个命题：①；②；则判断正确的是（ ）
A．①②均正确B．①②均错误
C．①对②错D．①错②对
【答案】A
【解析】当时，由大边对大角，得，
当时，由大角对大边，得，所以①正确；
由正弦定理得，所以②正确，
故选：A.
25．设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．、的大小不确定
【答案】C
【解析】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，，
以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，，
因为，所以，
所以.
故选：.
26．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【答案】A
【解析】如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为，
设到之间的距离为，
由光线反射性质得，所以，即，①
同理可得，②
①②两式相比得，解得，
代入①得，
故选：A．
三、解答题
27．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.
（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，
则 ，，
又底面是正方形，即 ，
则，即四边形为平行四边形，
则，又在平面外，平面，
故平面.
（2）解：取线段的中点为点，连接、，
又，底面是边长为的正方形，
则，且，，
又二面角的大小为，
即平面平面，
又平面，平面平面，
则平面，
则是直线与平面所成角，
在中，，
即，
故直线与平面所成角的大小为.
28．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
由
，所以不等式的解集为；
（2）令，因为，所以，
，因为，
所以由，
因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号，
因此当时，恒成立，
只需，所以实数的取值范围为.