2025届上海市闵行区六校联合教研高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届上海市闵行区六校联合教研高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共11页。
1. 已知全集，集合，，则________.
【答案】
【解析】因为集合，，
所以.
2. 函数在处的导数是________.
【答案】
【解析】由，则，当时，.
3. 已知，函数的最小正周期是，则正数的值为______.
【答案】2
【解析】因为，函数的最小正周期是，
则，解得.
4. 函数的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】函数的单调区间为
由，
解得
所以函数的单调递增区间是
5. 设是实数，若函数为奇函数，则________.
【答案】
【解析】由函数，则其定义域为，
由函数为奇函数，则当时，，解得.经检验成立.
6. 设集合有且只有两个子集，则______________.
【答案】.
【解析】因为集合有且只有两个子集，
所以集合有且只有一个元素，
所以方程有且仅有1个解，
所以，解得.
故答案为：.
7. 设是以2为周期的函数，且当时，则_________.
【答案】-1
【解析】∵f(x)是以2为周期的函数，且时，，
则.
8. 若“”是“”的充分条件，则的最小值为________.
【答案】2
【解析】，解得，
因为“”是“”的充分条件，
所以，
所以，
所以的最小值为2，
故答案为：2.
9. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________．
【答案】
【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
要使该函数为奇函数，则，，
即，，
又，则．
10. 函数的最大值为3，则的取值范围为______________.
【答案】
【解析】当时，；当时，；
当时，；
所以函数式可化为
函数图象如图所示：
因为 时最大值为3，又当时，，当时，；
由图知，.
11. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
12. 已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，
，
即对任意的 ，都存在，使 恒成立，
有，
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得 ；
当时，，此时不成立.
综上，.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
14. 若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】对于A，，在上单调递减，所以A不正确；
对于B，，，定义域为为，是非奇非偶函数，所以B不正确；
对于C，，，是奇函数，且在上单调递增，所以C正确；
对于D，，，是偶函数，所以D不正确；
故选：C.
15. 下列命题错误的是（ ）
A.
B. 若，且，，则
C. 若，则
D. 若，则当且仅当时，等号成立
【答案】D
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由，，当且仅当时，等号成立，由，则成立，故C正确；
对于D，在数轴上数字与分别对应的点之间的距离为，若，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：D.
16. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，，
又，所以，
所以，
所以，
所以 ，
由正弦定理得
的面积，
，
将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为.
故选：A .
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （1）已知，为第二象限角，求和的值；
（2）在中，角的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边.
解：（1）由于，为第二象限角，
可得，
所以可得；
又易知；
（2）由且，可得，
所以的面积为；
由余弦定理可得，
可得.
18. 已知函数，.
（1）①判断函数的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数的单调性，无需说明理由；
（2）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）①为定义域上的奇函数，证明如下：
定义域，关于原点对称，
又，
为奇函数；
②在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
，，且，
，，，，
，即，
在上单调递增；
（2）由①知，为奇函数，
等价于，
由②知在上单调递增，
，解得或，
不等式的解集为：；
19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.

（1）若，求此红旗图案面积；（精确到）
（2）求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）
解：（1）由题意，则，，
，
，
；
（2）设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
20. 已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
解：（1）由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2），，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3），，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
21. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是增函数，求a的取值范围；
（3）证明：有最小值，且最小值小于．
解：（1）当时，，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
a的取值范围是
（3）定义域为，
，
结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，
令得，，或，令得，，
随着的变化，的变化情况如下：
所以的极小值为，故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，所以，
当时，，所以，此时，，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于.+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增