2024北京丰台高二(上)期末数学试卷(教师版)

这是一份2024北京丰台高二(上)期末数学试卷(教师版)，共16页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l经过A（﹣1，0），两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝﹣3an，S3＝7，则a1＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（m，n）在抛物线C上．若|PF|＝3，则m＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜7B．3＜m＜5C．5＜m＜7D．m＞3
5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OC上，且，N为AB的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．9
7．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{an}，其将满月等分成240份，ai（1≤i≤15且i∈N*）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即a1＝5；第15天为满月，即a15＝240．已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则a5＝（ ）
A．40B．80C．96D．112
8．已知点P在由直线y＝x+3，y＝5和x＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q在x轴上运动．设点T（4，1），则|QP|+|QT|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱A1D1的中点，F为棱AA1上一动点．给出下列四个结论：
①存在点F，使得EF∥平面ABC1；
②直线EF与BC1所成角的最大值为；
③点A1到平面ABC1的距离为；
④点A1到直线AC1的距离为．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．过双曲线的右焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点Q．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知向量，，若与共线，则λ＝ ．
12．（5分）双曲线的渐近线方程为 ．
13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，能够说明“对∀n∈N*，若an+1＜an，则S2＜S1”是假命题的{an}的一个通项公式为an＝ ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），点Q在圆x2+y2＝8上运动，当∠OQP取最大值时，PQ的长为 ．
15．（5分）已知{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn，且给出下列四个结论：
①a2＜a1；
②{an}各项中的最大值为2；
③∃k∈N*，使得ak＜1；
④∀n∈N*，都有Sn≥n+1．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2﹣a1＝1，S5＝3a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
17．（14分）如图，在四面体PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝1，D，E分别为PA，AB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：△PBC为等边三角形．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（14分）已知圆C经过A（1，1），B（2，﹣2）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：3x+y+26＝0与圆C交于D，E两点，求四边形ABDE的面积．
19．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，中，侧面AA1C1C为正方形，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，AB⊥AC1，AB＝AC＝2．
（Ⅰ）求证：AB⊥AA1；
（Ⅱ）若点F在棱CC1上，且平面ABF与平面ABB1A1夹角的余弦值为，求的值．
20．（15分）已知椭圆W：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，△ABC的面积为2，椭圆W的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）椭圆W上不同于顶点的两点M，N关于y轴对称，直线AM与直线BC交于点P，直线AN与直线BC交于点Q．设点R（2，2），求的值．
21．（14分）已知数表，，，其中aij，bij，分别表示A（n，n），B（n，n），C（n，n）中第i行第j列的数．若cij＝ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj，则称C（n，n）是A（n，n），B（n，n）的生成数表．
（Ⅰ）若数表，，且C（2，2）是A（2，2），B（2，2）的生成数表，求C（2，2）；
（Ⅱ）对∀n∈N*，n≥3，
数表，，B（n，n）与B（n﹣1，n﹣1）满足第i行第j列的数对应相同（i，j∈N*，i，j≤n﹣1）．C（n，n）是A（n，n），B（n，n）的生成数表，且．
（ⅰ）求b33，；
（ⅱ）若c23≤λ恒成立，求λ的最小值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【分析】求出直线的倾斜角，然后求出直线的斜率，再根据正切函数的性质即可求解．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，
则tanα＝，因为0°≤α＜180°，
所以α＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题．
2．【分析】根据递推关系式，结合S3＝7，得到S3＝a1﹣3a1+9a1＝7，即可求解结论．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝﹣3an，S3＝7，
故S3＝a1﹣3a1+9a1＝7a1＝7，
故a1＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．【分析】根据抛物线的几何性质即可求解．
【解答】解：根据题意可得|PF|＝＝1+m＝3，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
4．【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：由椭圆＝1的焦点在x轴上，
则满足，解得5＜m＜7．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
5．【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：，N为AB的中点，，，，
则
＝
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的线性运算，是基础题．
6．【分析】根据椭圆定义，可得|PF1|+|PF2|＝6，利用勾股定理，变形整理，即可求得结果．
【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，利用勾股定理可得，
所以，
解得2|PF1|•|PF2|＝16，即|PF1|•|PF2|＝8，
则△F1PF2的面积为|PF1|•|PF2|＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
7．【分析】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得5q4+10d＝240，又q，d均为正整数，求解q的值得a5．
【解答】解：依题意，有a5＝a1q4＝5q4，a15＝a5+10d＝5q4+10d＝240，
q＝1时，d不是正整数；q＝2时，d＝16；
q≥3时，5q4≥405，d不是正整数．
所以q＝2，d＝16，a5＝a1q4＝80．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，属于中档题．
8．【分析】求出T关于x轴的对称点的坐标，进而求出线段和的最小值．
【解答】解：如图，作出可行域（含边界），其中点A（﹣1，2），B（﹣1，5），C（2，5），设
点T关于x轴的对称点为T'，则T′（4，﹣1），由平面几何知识可知，当点P为直线AT与直线y＝x+3 的交点时，|QP|+|QT|取 得最小值，
此时|QP|+|QT|＝AP|+|AP|＝AP|．
故选：C．
【点评】本题考查点关于轴的对称点的坐标的求法，线段和的最小值的求法，属于基础题．
9．【分析】由直线与平面平行的判定判断①；求出两异面直线所成角的最大值判断②；求出点到平面与直线的距离判断③与④．
【解答】解：如图，
∵E为棱A1D1的中点，F为棱AA1上一动点，
∴当F为AA1的中点时，EF∥AD1，可得EF∥平面ABC1，故①正确；
当F与A1重合时，直线EF与BC1所成角的最大值为，故②错误；
A1D⊥平面ABC1D1，则点A1到平面ABC1的距离为＝，故③正确；
在Rt△AA1C1中，AA1＝2，，，作A1G⊥AC1，垂足为G，
∴＝，故④正确．
∴所有正确结论的个数为3个．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系，是中档题．
10．【分析】作出图形，设双曲线的左焦点为F′，过F′作F′M⊥FQ于点M，则易得|QM|＝b，|QF′|＝|QF|﹣2a＝3b﹣2a，|F′M|＝2a，
然后在Rt△QF′M中，由勾股定理建立方程，即可求解．
【解答】解：如图所示：
设双曲线的左焦点为F′，过F′作F′M⊥FQ于点M，
又OP⊥FQ，∴F′M∥OP，又|OP|＝a，∴|F′M|＝2a，
∵O为F′F的中点，∴P为MP的中点，又，
∴|QM|＝|MP|＝|PF|，又|OF|＝c，|OP|＝a，∴|PF|＝b，
∴|QM|＝b，|QF|＝3b，∴|QF′|＝|QF|﹣2a＝3b﹣2a，又|F′M|＝2a，
在Rt△QF′M中，由勾股定理可得：
|QF′|2＝|F′M|2+|QM|2，
∴（3b﹣2a）2＝4a2+b2，
∴2b＝3a，∴，
∴双曲线C的离心率为＝＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，数形结合思想，属中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量，，与共线，
则，解得λ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
12．【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
13．【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，能够说明“对∀n∈N*，
若an+1＜an，
则S2＜S1”是假命题的{an}的一个通项公式为an＝﹣n+6．
故答案为：﹣n+6（答案不唯一）．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．【分析】设，θ∈R，借助向量求出cs∠OQP的最小值，即可求得当∠OQP取最大值时csθ的值，从而求得Q的坐标，再由两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：因为点Q在圆x2+y2＝8上运动，
所以设，θ∈R，
，，
则cs∠OQP＝＝＝
＝＝，
令，，则，
所以＝，
当且仅当时，即时等号成立，此时∠OQP最大，点Q的坐标为（2，±2），
所以当∠OQP取最大值时，PQ的长为＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．【分析】令n＝1，2计算即可判断①；对条件式变形可得an＞1，Sn＞1，即可判断③；计算可得an+1﹣an＜0，从而可判断②；由an＞1，a1＝2及前n项和的定义计算可得Sn＞n+1，从而判定④．
【解答】解：令n＝1，得＝1，即，解得a1＝2，
令n＝2，得，因为an＞0，所以解得，故①正确．
依题意有an＞0，Sn＞0，所以，所以有an＞1，Sn＞1，故③不正确，
因为，所以，
因为Sn显然是随着n的增大而递增的，且Sn＞1，所以an+1﹣an＜0，即an+1＜an，
所以数列{an}是递减数列，所以2＝a1≥an＞1，所以②正确．
所以Sn＝a1+a2+a3+⋯＝2+a2+a3+•••＞n+1，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查由数列的递推式研究数列的项，前n项和，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．【分析】（Ⅰ）由题意，利用等差数列通项公式即可求解；
（Ⅱ）分组后利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2﹣a1＝1，S5＝3a5，
设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，解得，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以
＝
＝
＝，
则数列{bn}的前n项和Tn＝．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
17．【分析】（Ⅰ）由线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）选①②均可得到AB，AC，AP两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量与平面PBC的法向量，由向量夹角公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为D，E分别为PA，AB的中点，
所以DE∥PB，
因为DE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
所以DE∥平面PBC；
（Ⅱ）选①：因为AB＝AC＝1，，
所以AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC，
又因为PA⊥平面ABC，所以AB，AC，AP两两互相垂直，
以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则，令y＝1，则x＝z＝1，所以，
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
则＝＝．
选②：因为PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝1，
所以，
因为△PBC为等边三角形，所以，
因为AB＝AC＝1，，
所以AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC，
又因为PA⊥平面ABC，所以AB，AC，AP两两互相垂直，
以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则，令y＝1，则x＝z＝1，所以，
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
则＝＝．

【点评】本题考查线面平行的证明和直线与平面所成角的求法，属于中档题．
18．【分析】（Ⅰ）设C（a，a+1），利用|CA|＝|CB|，结合两点间距离公式求出a的值，从而知圆心C与半径，再写出圆C的标准方程即可；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得弦长|DE|，再证四边形ABDE是平行四边形，结合平行线间距离公式，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线x﹣y+1＝0上，所以设C（a，a+1），
又A，B是圆C上两点，所以|CA|＝|CB|，即，解得a＝﹣3，
所以圆心C的坐标为（﹣3，﹣2），半径为，
故圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2＝25．
（Ⅱ）过点C作l的垂线，垂足为P，则P为线段ED的中点，
由点到直线的距离公式，得，
所以，
因为A（1，1），B（2，﹣2），所以|AB|＝＝|DE|，
直线AB的方程为y﹣1＝（x﹣1），即3x+y﹣4＝0，
而直线DE的方程为3x+y+26＝0，所以AB∥DE，
所以四边形ABDE是平行四边形，
因为AB，DE之间的距离，
所以平行四边形ABDE的面积为，
故四边形ABDE的面积为30．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握两点间的距离公式，弦长公式，两条直线的位置关系，平行线间距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．【分析】（Ⅰ）由AA1C1C为正方形，推出AC⊥AA1，再由面面垂直推出线线垂直，再证明线面垂直，推出线线垂直；
（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AA1，AC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABF与平面ABB1A1法向量求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，
因为侧面AA1C1C为正方形，所以AC⊥AA1．
又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1＝AA1，AC⊂平面AA1C1C，
所以AC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，
所以AC⊥AB，又AB⊥AC1，且AC∩AC1＝A，AC，AC1⊂平面AA1C1C，
所以AB⊥平面AA1C1C，又AA1⊂平面AA1C1C，
所以AB⊥AA1；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ），以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（0，0，2），C1（0，2，2），B（2，0，0），
设，其中λ∈[0，1]，则，
所以，
又，
由题意，为平面ABB1A1的一个法向量，
设平面ABF的一个法向量为，
则，所以，
令y＝﹣1，y＝﹣1，z＝λ，所以，
设平面ABF与平面ABB1A1的夹角为θ，
则，
解得，或（舍），
所以．
【点评】本题考查了空间位置关系的证明和向量法在空间角上的应用，属于中档题．
20．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，即可得解；
（Ⅱ）设M（x0，y0）（x0y0≠0），分别联立直线BC的方程与直线AM、AN的方程，结合椭圆的方程，可证xP+xQ＝0，yP+yQ＝0，进而知四边形APRQ为平行四边形，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a＝2，b＝1，c＝，
故椭圆W的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），C（0，1），
所以直线BC的方程为，
设M（x0，y0）（x0y0≠0），则N（﹣x0，y0），
所以直线AM的方程为，
与直线BC的方程联立，得点P的横坐标，
同理可得，点Q的横坐标，
所以＝，
因为点M在椭圆W上，所以，即，
所以，
又，所以P，Q两点关于点C对称，
又A（﹣2，0），R（2，2），所以A，R两点关于点C对称，
所以四边形APRQ为平行四边形，即|AP|＝|RQ|，
故．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，中点坐标公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．【分析】（Ⅰ）根据生成数表的定义求出c11，c12，c21，c22，进而即可求出C（2，2）；
（Ⅱ）当时，根据题意得到c13的表达式，（i）先当k＝3时，求出b33；再当k≥4时，得到bk3的通项公式，再验证b13，b23，b33是否符合通项公式即可；（ii）结合（i）得到a2kbk3的通项公式，从而求得，从而得到，进而得到时，c23≤λ恒成立；结合题意得到时，c23≤λ恒不成立；再证明对于任意不能恒成立，进而即可求出λ的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，，
，
，
，
所以；
（Ⅱ）由题意，当k∈N*，3≤k≤n时有：
，①
即，
（ⅰ）当k＝3时，，解得，
当k≥4时，由①得：
，②
①﹣②，得，
所以，
所以，，，均符合上式，
所以k∈N*，k≤n时，；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
所以对于∀n∈N*，n≥3有：
c23＝a21b13+a22b23+•••+a2nbn3
＝
＝，
由及n≥3知，，
所以时，对于∀n∈N*，n≥3，c23≤λ恒成立，
显然时，c23≤λ恒不成立，
下面证明：对于任意，c23≤λ不能恒成立，
记，
此时c23＞λ，即，化简得：，n＞3，
所以，则，
即当时，有c23＞λ成立，这与c23≤λ恒成立矛盾，
所以对于任意，c23≤λ不能恒成立，
综上，λ的最小值为．
【点评】本题考查了数列和矩阵的综合运用，属于难题．