北京市育才学校2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份北京市育才学校2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先解不等式得集合A，再求并集的结果.
【详解】因为，所以 ，选D.
【点睛】本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式直接判断函数的偶性、增减性即可得解.
【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD，
对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对；
故选：B.
3. 若，且，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，，，故答案为A．
考点：基本不等式的应用．
4. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.
【详解】由图知，，
，∴，
又，
，
∴函数解析式为．
故选：D
5. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】中，
由得不到，如时，即充分性不成立；
若，则，即由能够得到，即必要性成立，
所以在中，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
6. 已知函数，，的图像都经过点，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数f（x）=lgax，g（x）=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b
即可得出．
【详解】函数f（x）=lgax，g（x）=bx，的图象都经过点，
∴=2，=2，
解得a=，b=16．
则ab=8．
故选D．
【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 已知函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推关系可得数列的周期性，进一步即可得解.
【详解】由题意，同理，，……,
所以是周期为3周期数列，所以.
故选：C.
8. 已知向量，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
9. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则PA⋅PB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，由，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.
【详解】解：由题意可知，，，.
，.
，，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.
10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是（ ）
A. ②③B. ①②④C. ③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】由题目给出的新定义利用向量的数量积进行转换为两直线垂直，即验证一个函数图像上是否一定存在两个点使得他们与原点的连线垂直，对于①④只需取特殊点即可排除，②③需要数形结合来判断.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则，，∵，∴，即，
即集合是“好集合”等价于在集合中任意一点，一定存在另一个点使得，
也可以理解为过原点的任意两条相互垂直的直线一定与集合中的曲线相交.
①当时，∵，∴，若，则，则无解，∴，故①不是“好集合”.
②如图所示：

是一个单增函数，且是一个凹函数，∴函数任意一个点，都有一个点使得.故②是“好集合”.
③如图：

由三角函数图像可知，过原点的任何直线都与相交.故③是“好集合”.
④当时，∵，∴，若，则无定义，∴，故④不是“好集合”.
综上所述：②③是“好集合”.
故选：A
【点睛】思路点睛：对题意中的“好集合”利用向量数量积进行分析理解，得到垂直时关键.然后可以借助特殊值排除法，取个不满足的特殊值排除①和④即可得到答案.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中的常数项为_______________．
【答案】24
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
由，得，，
所以所求常数项为24.
故答案为：24
12. 若向量满足，且的夹角为，则___________，___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模.
【详解】，.
故答案为：1；.
13. 已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.
【答案】 ①. 0,+∞ ②.
【解析】
【分析】根据，确定的解析式，然后分别求出和时解析式，从而得到值域；
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故时，的值域为0,+∞；
当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，
的图像如图所示
由图可知，，解之得，
故的取值范围是，
故答案为：0,+∞；.
【点睛】本题考查求分段函数的值域，函数与方程，根据方程根的个数求参数的范围，属于中档题.
14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件得到数列的性质,按性质写出一个数列即可.
【详解】∵，∴数列时一个增数列；
∵，∴
∴
故答案为：（答案不唯一）
15. 已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以该函数是偶函数，因此结论①正确；
令，所以结论②正确；
，因为，，
所以函数的最小值不可能为，因此结论③不正确；
，当时取等号，即时取等号，
因为，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当时取等号，因此有，所以结论④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 已知等差数列满足.
（1）求的通项公式;
（2）若等比数列，求的通项公式;
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用等差中项得到的值，求出公差即可写出等差数列的通项公式；
（2）由（1）得到的值得到的值，求出公比即可写出等比数列bn的通项公式.
【小问1详解】
因为，
∴，
∴，∴，
∴；
【小问2详解】
由题可知，又∵，
∴，
∴，
∴.
17. 已知函数在处有极值-1.
（1）求实数a，b的值;
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可；
（2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解.
【小问1详解】
已知函数，则，
由题意，解得 ，
当时，，，
当或时，f'x>0，当时，f'x