江西省九江市修水县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份江西省九江市修水县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共23页。
说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分为120分，考试时间为120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下面四个选项中的图案，能通过下图平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
3．用反证法证明，“在中，对边是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，则的度数为( )
A．B．C．D．
6．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A´OB´的位置．若点B的横坐标为2，则点A´的坐标为（ ）
A．（1，1）B．C．（-1，1）D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．“x的2倍与3的差是大于零”用不等式表示为 ．
8．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为 ．
9．在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移 个单位得到点B（4，1）．
10．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝ ．
11．一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围为 ．
12．已知，P是边上一点．当是等腰三角形时，的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．求不等式的正整数解．
14．解不等式并将其解集在数轴上表示．
15．如图，在中，是的中点，，垂足分别是、，且求证：．

16．如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．

17．已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知是的角平分线，，的面积为16，的面积为12，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将先向下平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到．

(1)画出平移后的．
(2)若看成是经过一次平移得到的，则平移的距离是_______个单位长度．
(3)以点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出．
20．如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式的解都是不等式的解，则称不等式是不等式的“蕴含不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，是的“蕴含不等式”的是_________（填序号）．
(2)若不等式是不等式的“蕴含不等式”，求m的取值范围，
(3)已知是的“蕴含不等式”，试判断是不是的“蕴含不等式”，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，时，求的度数．
22．某中学组织学生前往瓷都景德镇研学．若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若只租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)这次研学一共有多少人？
(2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
六、（本大题共12分）
23．如图，为等边的高，，点为射线上的动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)如图①，当点在线段上时，且在射线上时，求证：．
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
(3)若点在线段的延长线上，且时，请直接写出线段的长度．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，据此即可求解．熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，进行判断即可．熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：观察图形可知C选项中的图案可以通过题中已知图案平移得到，故C正确．
故选：C．
3．D
【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：D．
【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键．
4．D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵，∴，故本选项不合题意；
B、∵，∴，故本选项不合题意；
C、∵，∴，故本选项不合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．B
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠ADB，根据等边对等角可得∠C＝∠CAD，然后利用三角形内角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】∵AB＝AD，∠BAD＝40°
∴∠B＝（180°－∠BAD）＝（180°－40°）＝70°
∵AD＝DC
∴∠C＝CAD
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
即40°＋∠C＋∠C＋70°＝180°
解得：∠C＝35°
故选：B
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质：等角三角形两底角相等、等边对等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据旋转的性质得出≌，从而得出，再根据等腰直角三角形的性质得出，从而得出点的坐标．
【详解】解：如图所示，过点作,交于点
∵为等腰直角三角形，由旋转所得
∴≌
∴为等腰直角三角形
∵点的横坐标为
∴点（0，2）
∴
∵
∴
∴点坐标为（-1，1）
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的相关性质，熟练掌握旋转的性质以及等腰直角三角形的相关性质是解答此题的关键．
7．
【分析】根据倍、差运算列出不等式即可得．
【详解】解：由题意，可列不等式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，掌握理解倍、差运算是解题关键．
8．8
【分析】先画出图形，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理即可求得结果．
【详解】如图，AB=AC=10，BC=12，AD为高，
则BD=CD=6，
故答案为：8
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线重合．
9．5
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）
则
即点向右平移5个单位长度得到点
故答案为：5．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键．
10．65°
【分析】根据旋转的性质知AB＝AB1，∠BAB1＝50°，然后利用三角形内角和定理进行求解．
【详解】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，
∴∠ABB1＝（180°−50°）＝65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两直线的交点的横坐标即可求解，从图象中获取相关信息是解题的关键．
【详解】解：由图得：当时，x的取值范围为：，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论：①当是等腰的底时，②当是等腰的腰时，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一性质即可求解，通过辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
①如图：当是等腰的底时，则，
过点作于点，
, ,
，，
在中，根据勾股定理得：，
即：，
解得：（负值舍去）；
②如图：当是等腰的腰时，则,
过点作于点D，
，
,
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：（负值舍去）；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
13．，2，3，4，5．
【分析】先求出不等式的解集，然后再确定正整数解即可．
【详解】解：
4x+4≤24
4x≤20
x≤5．
所以不等式的正整数解为，2，3，4，5．
【点睛】本题主要考查了求不等式的正整数解，正确求解不等式是解答本题的关键．
14．，图见解析
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
把不等式的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键.
15．见解析
【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】解：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，证明得到是解题的关键．
16．44
【分析】由推出，再计算即可．
【详解】解：由平移的性质可得：，，
∴，，
∵，
．
∴．
∵，，
∴，
∴
，
∴阴影部分的面积为44．
【点睛】本题考查的是平移的性质，全等三角形的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键．
17．（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可求解；
（2）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【详解】（1）连接AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线相交于P点，则P点即为所求；
（2）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟悉尺规作图的方法．
18．
【分析】本题考查了角平分线的性质，作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，根据即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，作于点E，于点F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
19．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图——平移变换、旋转变换，勾股定理，根据平移和旋转的性质正确作图是解题关键．
（1）根据平移变换的性质，分别作出、、的对应点、、，依次连接即可；；
（2）先得出点点的坐标，再根据坐标两点的距离公式求出的长，即可得到答案；
（3）根据旋转变换的性质，分别作出、、的对应点、、，依次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：由题意可知，点的坐标为，即,
，即一次平移的距离为个单位长度，
故答案为：；
（3）解：如图，即为所求作；

20．(1)③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“蕴含不等式”的定义验证即可得到答案；
（2）解出不等式，得到，由“蕴含不等式”的定义可知，解得；
（3）由是的“蕴含不等式”，得到，进而判断，即可得到答案．
【详解】（1）解：由“蕴含不等式”定义可知，不等式①，②，③中，是的“蕴含不等式”的是③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式，得，
不等式是不等式的“蕴含不等式”，
，解得；
（3）解：是的“蕴含不等式”，
，解得；
，即的最小值为，
，即，
是的“蕴含不等式”．
【点睛】本题考查新定义与不等式综合，读懂题意，理解“蕴含不等式”概念，准确得到相应不等式是解决问题的关键．
21．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质得到BD=BO，∠DBO=，即可证得结论；
（2）利用SSS证明△ADB和△AOB，推出∠ADB=∠AOB，由旋转得∠BOC=∠ADB，求得∠BOC=∠AOB，根据∠BOC+∠AOB+∠AOC=计算得出答案．
【详解】（1）∵将绕点逆时针旋转得到，
∴BC=BA，BD=BO，∠DBO=，
∴是等边三角形；
（2）在△ADB和△AOB中，
，
∴△ADB和△AOB（SSS），
∴∠ADB=∠AOB，
由旋转得∠BOC=∠ADB，
∴∠BOC=∠AOB，
∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=，，
∴∠BOC=∠AOB=．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
22．(1)这次研学一共有1200人
(2)方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，根据等量关系列出方程即可求解；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，根据不等关系列出不等式，进而可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，
根据题意得，
解得：，
，
答：这次研学一共有1200人．
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，
根据题意得，
解得：，
∵B种客车不超过7辆，∴，
又∵y为正整数，y可以为5，6，7，
∴该校共有 3 种租车方案：
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）为等边的高，得，线段绕点逆时针旋转，根据三角形的外角的性质和等角对等边即可求解；
（2）如图，连接，根据旋转的性质，得，，是等边三角形，，由此证明，即可求解；
（3）由（1），（2）的结论可知，，，，，点在的延长线上，再根据直角三角形的性质，等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵为等边的高，
∴，，，
∵线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；

（3）解：根据题意画图如下，
∵为等边的高，，
∴，，，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的延长线上，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴线段的长度为．

【点睛】本题考查几何变换，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边．掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．