福建省福州市连江县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份福建省福州市连江县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共6页：满分：150分：完卷时间：120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中，，则的度数为
A．B．C．D．
2．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，若，则的长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ）
A．变小B．不变C．变大D．先变小再变大
7．已知菱形的对角线，，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．一次函数的图象上任意两点，，当时，，若，y的值可以是（ ）
A．B．C．2D．3
9．如图，取边长为4的正方形各边中点，顺次连接构成小正方形，依次画下去，小正方形的面积从大到小排列，分别记为，，，…，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图是两个圆柱形连通容器（连通处体积忽略不计）．乙容器的底面面积是甲容器的底面面积的2倍，甲、乙容器高度相同，若向无水的甲容器匀速注水，则甲容器的水面高度与注水时间之间的函数图象表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卡的相应位置作答）
11．若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，，，，则点D的坐标为 ．

13．直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣2，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ．
14．在△ABC中，三边长分别为6，8，10，则最长边上的高为 ．
15．已知直线平行于直线，且点在直线上，则的值为 ．
16．已知矩形，，，E是边上一点，且，将沿直线翻折得到，其中A的对应点是，连接，则的面积为 ．
三、解答题（本愿共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)
(2)
18．已知，如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：；
19．已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值．
(1)求该函数的解析式：
(2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m______n（填“＞”，“＜”或“＝”）．
20．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
21．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示．
(1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长；
(2)求图（2）正方形与正方形的面积．
22．已知A，B两地相距，甲从A地前往B地，行进速度为，甲出发后，乙沿同一条路从A地出发也前往B地，行进速度，设甲的行进时间为x．
(1)分别写出甲乙两人的行程，关于x的函数解析式，以及自变量的取值范围；
(2)甲乙两人能否在途中相遇？如果能相遇，求此时离A地的距离，如果不能相遇，请说明理由．
23．在矩形中，和相交于O点，．
(1)尺规作图：在线段上求作点E，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接并延长交于点F，连接并延长交于点G，连接，请在图中补全图形并证明四边形是菱形．
24．在平面直角坐标系中，直线和直线都经过点．
(1)求直线的解析式和n的值；
(2)若直线，与y轴所围成的三角形面积为5，求的值；
(3)将直线向下平移6个单位，直线向右平移4个单位，若平移后的两条直线交点在第三象限，求的取值范围．
25．如图1，在正方形中，，点E，F分别在上，于点M，于点N，且．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)在直线右侧以线段为边作等腰直角三角形，，连接，如图2，试判断与的有什么关系？并证明你的结论．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式符合两个条件：1．被开方数不含能开的尽的因数或因式；2．被开方数的因数是整数，因式是整式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，所以不符合题意；
B、，不是最简二次根式，所以不符合题意；
C、是最简二次根式，所以符合题意；
D、，不是最简二次根式，所以不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理的运用，解题的关键是根据三角形的中位线定理求出，再根据平行四边形的性质得出结果．
【详解】解：点，分别是，的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是根据算术平方根的运算方法分别计算．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；根据函数概念逐一进行判断即可．
【详解】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；
对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故选：A．
6．B
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解
【详解】∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键
7．A
【分析】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，然后利用勾股定理列式求出即可得到结论．
【详解】解：设菱形对角线交点为，
菱形对角线，，
，
，
∵，
∴，
菱形的周长为，
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的增减性求出的取值范围，结合选项即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象上任意两点，，，，当时，，
随的增大而增大，
，
若，，
故选：D．
9．D
【分析】题目主要考查正方形的性质及面积比，连接，根据正方形的性质得出正方形的面积是正方形面积的2倍，得出，同理得出，即可得出结果，熟练掌握正方形的性质是解题关键
【详解】解：连接，如图所示，
则正方形被和分成了四个相同的小正方形，
∵分别是这四个小正方形的对角线，
∴正方形的面积是正方形面积的2倍，
即，
同理可得，，
所以，
故选：D
10．B
【分析】根据两个圆柱形容器的中间连通，得到在一段时间内，甲容器的水面高度会保持不变，且维持不变的时间是之前时间的2倍，结合图象即可进行判断．本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题意，结合图象来解答．
【详解】解：两个圆柱形容器的中间连通，
甲容器的水面高度会有保持不变的情况；
又乙容器的底面面积是甲容器的底面面积的2倍，
维持不变的时间是之前时间的2倍，
故选：B．
11．
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质．先求出，根据平行四边形的对边相等且平行求出，，进而即可求出点D的坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴点A、D的纵坐标相等，
∵，
∴，
故答案为：．
13．-2
【分析】一次函数与一元一次方程．方程，的解其实就是当y=0时一次函数与x轴的交点横坐标．
【详解】解：∵直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
14．
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形高的计算，熟练掌握勾股定理是解题关键．
先根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，再由等面积法即可求解．
【详解】解∶∵的三边长分别为6、8、10，且，
∴是直角三角形，且斜边长为10，
∴最长边上的高为：．
故答案为：
15．4
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，代数式取值．熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键．
由一次函数图象的平移，可得，则直线；将代入得，，即，然后代入求解即可．
【详解】解：∵直线平行于直线，
∴，
∴直线；
将代入得，，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．12
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．过点作于点F，交于点G，则，，设，则，，由折叠的性质得：，，分别在和中，根据勾股定理可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点F，交于点G，则，，
设，则，，
由折叠的性质得：，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
即，
∴，
矩形，，
∴，
∴．
故答案为：12
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键．
（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先计算零指数幂，再根据二次根式的乘除法则运算，最后合并即可．
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式
．
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)
(2)，图见解析
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象，熟知待定系数法及一次函数的图象和性质是解题的关键,
（1）利用待定系数法即可解决问题.
（2）根据（1）中的函数解析式，画出函数图象即可，求出m，n的值，即可比较大小.
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为
依题意得：，解得
该函数的解析式，
（2）因为当时，；当时，，
该函数的图象如图所示
当时， ,
当时，,
20．绳索长为尺
【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．
【详解】设绳索长为x尺
∴根据题意得：
解得．
∴绳索长为尺．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是本题的关键．
（1）设矩形纸片相邻两边长分别为，，根据题意可得，解得的值，可得矩形纸片相邻的两边长；
（2）如图，正方形的边长为，正方形边长，可得正方形与正方形的面积．
【详解】（1）解：设矩形纸片相邻两边长分别为，，
依题意得：
∵，
，
，
矩形纸片相邻两边长分别为，；
（2）由（1）可得：
正方形边长，
，
正方形边长，
．
22．(1)，
(2)甲乙两人能在途中相遇，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据“路程速度时间”分别写出，关于的函数解析式，当各自的行程为时，分别计算到达地的时间，以此确定各自的上限；再根据出发时的时间，确定各自的下限，从而确定各自的取值范围；
（2）当甲乙两人在途中相遇时，根据“二人的行程相等”，得，解方程求出的值，将的值代入任意一个函数求出对应或的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
当时，；
，
当时，；
关于的函数解析式为，
关于的函数解析式为．
（2）甲乙两人能在途中相遇．
当甲乙两人在途中相遇时，二人的行程相等，得，
解得，
当时，，
甲乙两人能在途中相遇，此时离地．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明是等边三角形，作的角平分线，与的交点即为；
（2）补图如图，证明，则，四边形是平行四边形，由（1）知是等边三角形，则是的垂直平分线，，可得，，即，进而结论得证．
【详解】（1）解：∵矩形，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即为的中点，为的平分线，
如图1，作的角平分线，与的交点即为；
（2）证明：补图如图，
四边形是矩形．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
由（1）知是等边三角形，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，菱形的判定．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，菱形的判定是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，熟知待定系数法及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）分别将点坐标代入直线和直线的函数解析式即可解决问题．
（2）根据直线，与轴所围成的三角形面积为5，求出与轴的交点坐标即可解决问题．
（3）先表示出平移后的两条直线的函数解析式，根据此交点在第三象限，确定k的最大值和最小值，即可解决问题．
【详解】（1）解：将点坐标代入直线的函数解析式得，
，
解得，
所以直线的解析式为．
将点坐标代入直线的函数解析式得，
，
则．
因为，
所以，
解得．
（2）令直线与轴的交点为，如图所示，
因为直线，与轴所围成的三角形面积为5，
所以，
则，
所以点的坐标为或．
当点坐标为时，
，
解得；
当点坐标为时，
，
解得；
综上所述，的值为．
（3）直线向下平移6个单位所得到的直线解析式为：
直线向右平移4个单位所得到的直线解析式为：
直线与x，y轴交点坐标为，，
直线过定点
当直线与x轴交于点时，
得，即
解得
当直线与y轴交于点时，
得，即
解得
直线、平移后的两直线交点在第三象限
由下图可得，的取值范围为
25．(1)见解析
(2)1
(3)且，证明见解析
【分析】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据正方形的性质得出， ，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由（1）可得，，再由全等三角形的判定得出，确定，设，则，，利用勾股定理求解得出，连接，根据等腰三角形及直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再由其性质确定，利用全等三角形的判定和性质确定，再由平行四边形的性质及各角之间的关系进行等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
， ，
又，
，
，
又，
，
，
；
（2）由（1）可得，；
又，
，
又，，，
，
，
，
即，
设，则，，
在中，，
即，解得：，
，
，
连接，
垂直平分，
，，
又， ，
，
，
，
又，
，
（3）且DN⊥PN，
连接，
，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，
， ，
，
又，，
，
，，
，
又四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
∴且．
x
…

0
2
…
y
…
m
0
n
…