福建省宁德市部分县市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
B中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
2. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是要注意不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．因为，所以，原变形正确，故此选项符合题意；
D．因为，所以，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
B、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
C、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；
D、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意；
B、，属于因式分解，故B符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；
D、，属于整式乘法，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，解题的关键是把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
【详解】解：，在数轴上表示如下：
故选A．
6. 如图，中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
7. 下列数是不等式的一个解的是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．
【详解】解：，
，
，
，
是不等式的一个解，
故选：A．
8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是根据平移的性质求出，再利用正方形的性质，在等腰直角三角形中利用勾股定理求出结果．
【详解】解：由平移可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长是（ ）
A. 2.5B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
由题意得，由勾股定理得，，由垂直平分线的性质可得，根据的周长是，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵是垂直平分线，
∴，
∴周长是，
故选：B．
10. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
【详解】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为：
点在直线的下方，点在直线的上方，点在直线的下方，
可能在一次函数图象上的是．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移______个单位后得到点
【答案】2
【解析】
【分析】根据点的平移规律“上加下减，右加左减”即可进行解答．
详解】解：点向上平移2个单位后得到点，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，解题的关键是掌握点的平移规律“上加下减，左加右减”．
13. 如图，在中，是的平分线，于点，且，，则的面积为______.

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于点，

∵是的平分线，，
∴，
∴的面积为,
故答案为：．
14. 已知点在第二象限，则a的取值范围_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离是_____．

【答案】48
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可．
【详解】解：连接，过作于，

，，，
，
是直角三角形，
的面积，
，
解得：，
即点到距离为，
故答案为：48．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），线段绕M点顺时针旋转得到，连接，则下列结论正确的是_____．
①点B的坐标是；
②始终是等边三角形；
③在点M运动过程中，的大小可能是；
④连接，当时，的长是．
【答案】①②④
【解析】
【分析】如图，作于，则，，由勾股定理得，，则B的坐标是，进而可判断①的正误；由旋转的性质可知，，可证是等边三角形，进而可判断②的正误；证明，则，进而可判断③的正误；如图，连接，作轴于，作轴于，则，，，，则，，由勾股定理得，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，，进而可判断④的正误．
【详解】解：如图，作于，
∵为等边三角形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴B的坐标是，①正确，故符合要求；
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，②正确，故符合要求；
∵、是等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，③错误，故不符合要求；
如图，连接，作轴于，作轴于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是直接提公因式即可分解．
【详解】解：
18. 解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
19. 如图，在中，是的中点，，垂足分别是、，且求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】解：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，证明得到是解题的关键．
20. 创建全国文明城市，某单位要同时购买A型和B型分类垃圾桶共10个，据市场调查，A型40元/个，B型50元/个，若总费用不超过420元，问该单位至少需要购买A型分类垃圾桶多少个？
【答案】8个
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设购买A型分类垃圾桶个，则购买B型分类垃圾桶个，利用总价单价数量，结合总价不超过420元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设购买A型分类垃圾桶个，则购买B型分类垃圾桶个，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8，
至少要购买A型分类垃圾桶8个．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在所给图的坐标系中画出平移后的；
（2）如图，若与关于某点P成中心对称，且点B的对应点是点，
①对称中心P的坐标是_________；
②画出．
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是：
（1）将三个顶点分别向左平移5个单位，再向下平移1个单位，再首尾顺次连接即可得；
（2）①连接，找到线段的中点即可对称中心；②根据对称中心的位置找到对应点，再依次连接．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
①如图，点P即为所求，坐标为；
②如图，即为所求．
22. 如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．）
请从以下两个问题中任选一题作答．
A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由．
B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由．
【答案】画图见解析，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
A题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求；
B题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求．
【详解】解：A题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求；
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴都是等腰三角形；
B题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求；
同理可得，
∴都是等腰三角形．
23. 阅读理解：
材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，．
材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．
（1）_______， _______；
（2）如果，求满足条件的所有整数x；
（3）若线性数的值为1，求x的值．
【答案】（1）3，
（2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键
（1）由题意知，，，计算求解即可；
（2）由，可得，计算求解，然后作答即可；
（3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，，
故答案为：3，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
解得，，
∴满足条件的所有整数x为，，；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∴，
∴，
由题意知，表示不大于a的最大整数，
∴，
∴，
解得，．
24. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，保持不动，将绕点A按顺时针方向旋转，连接交于点G．

（1）求证：；
（2）如图2，当点D落在线段上时，求的长；
（3）连接，在旋转过程中，当是等腰三角形时，请在图3中画出相应的图形，并求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）6或8
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，可得，进而可证；
（2）由题意知，分在左侧、右侧两种情况求解；当在右侧时，如题图2，，由勾股定理得，，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可；当在左侧时，如图1，同理求解即可；
（3）由题意知，，，即，，当是等腰三角形时，，在的垂直平分线上，由题意知，分两种情况求解；如图，，四边形是矩形，根据，计算求解即可；如图，，四边形是矩形，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，分在左侧、右侧两种情况求解；
当在右侧时，如题图2，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得或（舍去）；
当在左侧时，如图1，

同理，设，则，
由勾股定理得，，即，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为6或8；
【小问3详解】
解：由题意知，，，即，，
∴当是等腰三角形时，，在的垂直平分线上，由题意知，分两种情况求解；
如图，，四边形是矩形，

由题意得，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，；
如图，，四边形是矩形，

同理，，
∴，
由勾股定理得，；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题的关键在于分类讨论．