湖南省郴州市汝城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版解析版）

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（满分120分时 量120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角的度数（ ）
A. 30°B. 48°C. 38°D. 52°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
详解】解：由题意可得，
另一个锐角度数为：90°-52°=38°，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是直角三角形的两个锐角互余．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
4. 如图，在中，，，，D为的中点，则等于（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得出．
【详解】解：∵，
∴．
∵D为的中点，
∴．
故选B．
5. 若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（ ）
A. 13B. C. 13或D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理．根据题意，已知的两边只能作直角边，即可得到本题答案．
【详解】解：由题意知，5与12只能是两直角边，
第三个勾股数：，
故选：A．
6. 图中能表示的边上的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边的垂线段，正确的是D．
故选D．
【点睛】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．
7. 下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】含有三角形结构的支架不容易变形，只有B选项的图形中有三角形支架，
故选B．
8. 下列判断错误是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形
C. 四个内角都相等的四边形是矩形
D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意；
B、

在平行四边形中，对角线平分，，
，，
，
，
四边形是菱形，
故选项正确，不符合题意；
C、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
D、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟记矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键．
9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽．
先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长．
【详解】∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴矩形的周长为：．
故选：D．
二、填空（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为____________．
【答案】90度##
【解析】
【分析】根据算术平方根和平方式的非负性求得a和b值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由得：，，
解得：，，
∵，
∴，
∴的形状为直角三角形，且，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出a和b值是解答的关键．
12. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【解析】
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
13. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．
【答案】100
【解析】
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100米．
故答案为100．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
14. 如图，中，，的平分线交于，若，则点到的距离是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得出，即可求出点D到的距离．
【详解】解：∵的平分线交于点D，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质，熟练运用它求解．
15. 如图，在中，，，，则的周长是___________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是得出的长．利用平行四边形的性质求出，，进而可求出的周长．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴的周长是：．
故答案为20．
16. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为__________度．

【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和性质以及等边三角形的性质，因为是正方形，所以，结合等边三角形的性质，得出再运用三角形内角和性质列式作答即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴
则，
∴
则
故答案为：45．
17. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________．
【答案】平行四边形
【解析】
【分析】根据中点四边形的性质判断即可；
【详解】解：如图所示，
四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键．
18. 在菱形中，对角线，则菱形的面积为___________．
【答案】24
【解析】
【分析】由菱形的对角线，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
【详解】解：菱形的对角线，
菱形的面积为∶．
故答案为∶24
【点睛】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于其对角线积的一半的应用是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26每小题10分，共66分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得,
，
．
∴这个多边形的边数是7．
20. 如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．
（1）请你找到对称中心O的位置．
（2）连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义和性质，平行四边形的判定：
（1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O；
（2）由中心对称的性质可知：，，再利用平行四边形的判定，即可解决问题．
【小问1详解】
解：对称中心O的位置如图所示：
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
由中心对称的性质可得，，
四边形是平行四边形．
21. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】根据中位线的性质得出，，根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和得出求出．
【详解】解：∵P是的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
22. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）75°
【解析】
【分析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．
【小问1详解】
证明：如图，
∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
【小问2详解】
解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠CFA=90°-15°=75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
23. 如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）的长为
（2）四边形的面积为
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和．
【小问1详解】
解：，，
，，，
的长为；
【小问2详解】
，，
，
是直角三角形，
，
四边形面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
24. 如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B=60°，BC=8，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平行四边形ABCD的面积为．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由已知条件得出AM∥CN，AM=CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA=90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
（2）根据∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出的面积．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形；
【小问2详解】
解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=BC=4，CM=4，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴的面积为AB×CM=8×4=32．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）能，理由详见解析；（2）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
【解析】
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可
【详解】解：(1)能．
理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60－4t＝2t，解得t＝10.
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；
(2)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，
解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，解得t＝；
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，
D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．