湖北省咸宁市嘉鱼县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份湖北省咸宁市嘉鱼县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共22页。试卷主要包含了下列计算错误的是，在中，，，，则这个三角形是，对角线长为2的正方形的面积是等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试卷
考生注意：
1．本试卷分试题卷（共4页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟．
2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效．
试题卷
一．精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
4．在中，，，，则这个三角形是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
5．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BCB．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DOD．AB//DC，AD=BC
6．对角线长为2的正方形的面积是（ ）
A．2B．4C．D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
10．如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．1.5D．2
二．细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
11．化简：= ．
12．若是正整数，则整数可取的最小值为 ．
13．在中，、、的对边分别为、、，且，若，则的大小是 ．
14．如图，平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为 ．
15．已知，则代数式的值是 ．
16．如图，点在菱形的边上，，，则的大小为 ．
三．专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．
19．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)．
20．阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，且以，，，为顶点的四边形为菱形．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)请用无刻度直尺作直线，使直线经过点且平分菱形的面积，保留作图痕迹；
(3)已知点是边上一点，若线段将菱形的面积分为2：3两部分，直接写出点的坐标．
23．【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系．
小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）

24．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．
(1)若，求的长；
(2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？
(3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式下的被开方数为非负数，可得出关于的一次不等式，求解即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要使代数式有意义，则：
，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义进行判断即可得解．
【详解】A. ，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
B. ，是最简二次根式，此选项符合题意；
C. ，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
故选B．
3．A
【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、 3与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算．
4．B
【分析】利用勾股定理的逆定理求解判断即可．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，但不是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解答的关键．
5．D
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
6．A
【分析】本题考查了正方形对角线长相等的性质，考查了正方形面积的计算，本题中正确计算是解题的关键．
正方形又是菱形，根据菱形面积计算公式即可求得正方形的面积，即可解题．
【详解】解：正方形面积可以按照(为对角线长)，
∴该正方形面积为．
故选：A．
7．D
【分析】利用矩形的性质证明△AOB是等边三角形，即可求得AB的长．
【详解】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC=OB=OD=BD=4(cm)，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4(cm)，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记矩形和等边三角形的性质并准确识图是解题的关键．
8．A
【分析】根据菱形的性质得出，，进而得出，等角对等边可得出，在中得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．C
【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，
因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.
所以6002+8002=10002.
所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.
故选C.
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，点是中点，再得出是的中位线，即可求解，掌握相关知识定理是解题的关键．
【详解】解：延长，交于点，如图：
在和中，
，
∴，
又∵，
∴，，
∴点是中点，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
11．
【详解】根据二次根式的化简的性质可知：
===.
故答案为：
考点：二次根式的化简
12．15
【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答．
【详解】解：依题意，得，
∵是正整数，且是整数，
∴整数可取的最小值为15，
故答案为：15．
13．##20度
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且，
∴．
∴a、c是两直角边，b是斜边，
∴．
∴；
故答案为：．
14．12
【分析】本题主要考查了勾股定理和平行四边形的性质，先利用勾股定理求出，再利用平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：12．
15．3
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将的值代入，即得答案．
【详解】，
，
，
，
．
故答案为：3．
16．##度
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质；在上取点，使得，得出，根据菱形的性质则，进而证明，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，在上取点，使得，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
又∵四边形是菱形，
∴，
∴
∵
∴，
又∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质化简各数，然后相加减即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据矩形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，则得到，继而．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再由进行计算求解即可；
（2）先求出，，再由进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴
20．（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等
【分析】（1）把直接代入，，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；
（3）根据勾股数解答即可．
【详解】（1）把代入，，得：
，，，
这组勾股数为；
（2）表示大于1的整数，
，，都是正整数，且是最大边，
，
是一组勾股数；
（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．
21．（1）135°；（2）．
【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△DAC的形状，从而可以求得∠DAB的度数；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，然后根据勾股定理即可得到DE和AE的长，再根据勾股定理，即可得到BD的长．
【详解】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴
∵AD＝，CD＝，
∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2，
∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，
即∠DAB的度数是135°；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
∵∠DAB＝135°，
∴∠DAE＝45°，
∵DE⊥AE，AD＝，
∴DE=AE，
∴
∴DE＝AE＝1，
∵AB＝2，
∴BE＝3，
∴
即BD的长是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据的坐标，求得，进而即可得出的坐标；
（2）连接交于点，过点作直线，直线即为所求；
（3）根据菱形的性质求得菱形的面积，进而可得或，进而得出或，根据三角形的面积公式，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，过点作直线，直线即为所求；
（3）解：∵，，
∴菱形的面积为，
∵，
∴，
∵线段将菱形的面积分为两部分，
∴或
则或，
∴或
∵
∴或，
∴或
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23．（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）延长到点，使，连接．根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差易证为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，最后根据线段的和差及等量代换即可得证；
（2）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后得出是等腰直角三角形，进而得出结论；
（3）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差得出过点A作交于点F，根据三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式得出，最后根据全等三角形的面积相等即可得出四边形的面积，从而得出答案．
【详解】（1）延长到点，使，连接．
，，
在和中
，
为等边三角形
（2）如图，延长到点E，使，连接

在和
，
是等腰直角三角形，
即
（3）如图：延长到点E，使，连接，
，，
在和中
，
过点A作交于点F，
在中，，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键．
24．(1)3
(2)当时平行四边形是菱形，理由见解析
(3)存在最小值
【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形；
（3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则，
，，
，
，，
；
（2），当时，
∴，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；
（3）如图，设与交于点，作于．

在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．