北师大版数学八下同步讲练第一章第05讲 易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错（解析版）

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第05讲 易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc5863" 【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】  PAGEREF _Toc5863 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29432" 【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】  PAGEREF _Toc29432 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7491" 【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】  PAGEREF _Toc7491 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5210" 【考点四 求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】  PAGEREF _Toc5210 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc30944" 【考点五 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】  PAGEREF _Toc30944 \h 20【考点一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长．【答案】这个等腰三角形的周长为10．【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论．【详解】解：①当时，解得，则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形，此时这个等腰三角形的周长为；②当时，解，则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）．综上所述，这个等腰三角形的周长为10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．【变式训练】1．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ）A． B． C．或2 D．或【答案】D【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．【详解】解：当为腰长时，∵等腰的周长为20，∴的底边长为：，∴“优美比”为；当为底边长时，的腰长为：，∴“优美比”为；故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论．2．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ．【答案】17【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．【详解】解：分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，能构成三角形，周长为，故答案为：17．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的周长为 ．【答案】11或13/13或11【分析】分3是腰长或5是腰长，两种情况讨论求解即可．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，∵，∴此时能组成三角形，这个三角形的周长为；②5是腰长时，三角形的三边分别为3、5、5，此时能组成三角形，∴这个三角形的周长，综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．故答案为：11或13．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题关键在于要分情况讨论．4．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是 ．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出的值，再讨论a为腰长和底边长，结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为，∵，∴此时不能构成三角形，当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为，∵，∴此时能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，正确求出的值是解题的关键．5．（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ．【答案】11或13或17【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可．【详解】解：①当是底边时，则腰长为，5，∴，∴，即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长；②当5是底边时，则腰长为，，∴，解得，即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长；③当是底边时，则腰长为5，，∴，解得，即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长．综上所述，三角形的周长可以是11，14或17．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验．6．（2022春·七年级单元测试）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？(2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？【答案】(1)(2)能【分析】（1）设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为，列出方程求解即可；（2）根据三角形三边之间的关系，分两种情况进行讨论即可．【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为，，解得：，∴，∴该三角形的三边长分别为．（2）解：当底边长为时，腰长为，∵，∴能围成底边长为，腰长为时的等腰三角形；当腰长为时，底边长为，∵，∴不能围成腰长为的等腰三角形；综上：能围成有一边长为的等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【考点二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ．【答案】或【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当的角是底角时，则底角为，当的角是顶角时，则底角为，故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·云南文山·八年级校联考期中）等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ．【答案】或【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．【详解】分两种情况：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数；当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，故它的底角度数是或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．2．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（    ）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为，当顶角为底角的2倍时，，解得：；当底角为顶角的2倍时，，解得：；综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．3．若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为 【答案】或【分析】分的外角为顶角的外角和底角的外角两种情况讨论即可.【详解】分为两种情况：（1）当这个的外角为等腰三角形顶角的外角时，则其顶角为；（2）当这个的外角为等腰三角形底角的外角时，则其底角为，顶角为；故答案为：或．【点睛】本题主要考查三角形的外角定义及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质.4．（2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．【答案】或或【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，①是顶角，是底角时，，解得，所以，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，所以，顶角是；③与都是底角时，，解得，所以，顶角是；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．5．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】或或【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【考点三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（2023春·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ．【答案】或或【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可．【详解】解：，为的中点，，四边形是矩形，，，，有三种情况：，作的垂直平分线，交于，此时在的垂直平分线上，即，则，，即此种情况不存在；当时，由勾股定理得：；当时，有和两种情况，过作于，由勾股定理得：，即；，所以的长是或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．【变式训练】1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．【答案】20°或27.5°或35°【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝27.5°；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，∵AD＝BD，∠B＝70°，∴∠BAD＝∠B＝70°，∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝20°；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，则∠ADB＝∠B＝70°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝35°．故答案为：20°或27.5°或35°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理．2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．【答案】或9或3【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，∴，∴，当点P在线段AB上时，如图，∵，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴；当点P在AB的延长线上时，∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，∴，∵，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC为等边三角形，∴PA=AC=3．综上所述，的长为或9或3．故答案为：或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．3．（2022春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ．【答案】或或【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，为等腰三角形，当时，如图所示，，则，即，当时，如图所示，，则，当时，如图所示，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，综上所述：的值为或或，故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键．4．（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ．【答案】或或【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∴，沿射线方向平移m个单位得到，∴，，点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当时：如图，此时；  ②当时：如图，  则：，在中，，即：，解得：；③当时，如图：  此时，∵，∴，∴；综上：，或；故答案为：或或．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【考点四 求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（2023下·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ．【答案】或或【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案．【详解】解：在中，，，，，，点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒），当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当时，为直角三角形，①当时，，，，，在中，，即，解得，符合题设；②当时，，在中，，即，解得，不符题设，舍去；（2）如图，当时，为直角三角形，①当时，，，，，在中，，即，解得，符合题设；②当时，，在中，，即，解得，符合题设；综上，的值是或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．【变式训练】1．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ．【答案】、或【分析】根据题意分为若及进行讨论，再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1，在中，，若，  点在直线边上，为直角三角形，且当时，；如图2，在中，，若，点在直线边上，为直角三角形，且当时，  ；如图3，在中，，若，  点在直线边上，为直角三角形，且当时，；如图4，在中，，若，  点在直线边上，为直角三角形，且当时，，；故答案为：、或【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．2．（2023下·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．【答案】或【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．【详解】解：如图所示，当时，∵是的角平分线，，∴，∴中，；如图，当时，  同理可得，∵，∴，∴，综上所述：的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．3．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．  【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵，∴∵平分∴当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，如图1，  ∵，∴；②当时，如图2，  ∴，∵，∴，综上，的度数为或．故答案为：50或25．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．4．（2023下·全国·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．【答案】或或【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分 和两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为 ．当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ；② 时，∵ ∴ ，解得，∴点P的坐标为当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ；② 时，∵ ，∴点P的坐标为 ．综上所述点P的坐标为【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．【考点五 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    )A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：．可设，∴．由题意得： 或，解得：或．当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立；当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是或．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（   ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，  ∵，∴顶角；如图2，三角形是钝角时，  ∵，∴顶角，综上所述，顶角等于或．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．【答案】或【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．  故答案为或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．3．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．【答案】9cm或21cm【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，∴或，解得或，经检验，都符合三角形的三边关系．因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．故答案为：9cm或21cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（2022春·广东广州·八年级校考阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．【答案】或【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长．【详解】解：由题意得：；当时，即，，，；当时，即，，，；综上，底边的长为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．