北师大版数学八下同步讲练第一章第07讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)（解析版）

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第07讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2180" 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】  PAGEREF _Toc2180 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc16450" 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】  PAGEREF _Toc16450 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7539" 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】  PAGEREF _Toc7539 \h 20【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含角的直角三角形的性质等知识，（1）连接，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接，∵，，∴，平分，∴，，∵于E，∴，∴；（2）∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，则．【变式训练】1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：．【答案】见解析【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，然后即可证明，进而可得结论．【详解】证明：连接，，D是BC的中点，，在和中，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．(1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可得平分，再根据证明，即可得到结果；（2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果；【详解】（1）证明：连接，∵，为边的中点，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴，∴；（2）解： ，， ∴为等边三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴的周长为．【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．（2023上·北京·八年级期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有；（2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD，，点为的中点，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．    (1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接，    是的垂直平分线，，，，是等腰三角形，为线段的中点，；（2）解：，，，，，，，，为等边三角形，，，．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持．(1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)且，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）且，理由是：如图①，连接，∵，，D为中点，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）若点分别在线段，的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接，理由如下：∵，，点D为的中点，∴，∴，在和中，∴；∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．6．（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知．(1)求的长．(2)求的长．【答案】(1)1(2)【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．（1）连接，首先利用勾股定理解得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后证明为等腰直角三角形，即可求得的长；（2）由题意可知，然后在中，利用勾股定理解得，根据即可求得答案．【详解】（1）解：连接，如下图，根据题意，，，∴，∴，∵为中点，∴，且，∴，∴，∴；（2）根据题意，，又∵，，∴在中，，∴．【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．  【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．【详解】解：如图，作交于，  ，，，，在中，，，，，，，，．【变式训练】1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积．【答案】【分析】连接，过点C作于点E，在中根据勾股定理求出的长，由等腰三角形的性质得出，在中根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论．【详解】连接，过点C作于点E，∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∵，∴．在中，∴．【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）．  (1)如图1，若是直角三角形，①当时，求的长；②当时，求的长．(2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：．【答案】(1)①6；②(2)见解析【分析】（1）①过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；②画出图形，过A作于H，设，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；（2）利用三角形的外角性质得到，再根据全等三角形的判定即可证的结论．【详解】（1）解：①过A作于D，如图，  ∵，，∴，在中，，∴；②如图，过A作于H，  由①得，，在中，，在中，，∴，解得；（2）证明：∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定，熟练掌握相关知识的联系和运用是解答的关键．3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．  (1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．【答案】(1)2(2)或(3)【分析】（1）过点A作于D，利用等腰三角形“三线合一”性质求出，再利用勾股定理即可求解．（2）分两种情况∶当时， 当时，分别求解即可．（3）过点A作于D，过点A作于G，由折叠性质得，，再证明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解．【详解】（1）解：过点A作于D，如图1，  ∵，，∴由勾股定理，得，∴边上的高的长度为2．（2）解∶分两种情况∶当时，则，∴解得∶ ；当时，如图，  则， ，由(1)知∶ ， ，∴，由勾股定理，得，解得∶ ，综上，当为等腰三角形时，t值为或．（3）解：过点A作于D，过点A作于G，如图2，  由（1）知，，，由折叠知：，，又∵，∴，∴，，∵∴在中，由勾股定理，得∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．作等腰三角形底边的高利用等腰三角形“三线合一”性质和构造直角三角形利用勾股定理求线段长是解题的关键．4．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．  (1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果；（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果．【详解】（1）解：如图，过A作于F，∵，，∴，，∴，即；  （2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系．5．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．  (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，证明见解析；②，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；（2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．【详解】（1）解：当点E与点C重合时，，∵，∴，∴，    ∴，即与的位置关系是互相垂直，若，过点A作于点M，如图：  则，∵，∴，在与中，∴，∴，即的长为，故答案为：互相垂直；；（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：过点A作于点M、于点N，如图：      则，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在与中，，∴，∴，∴；②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下：在上截取，连接，如图：      ∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，    ∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：过点C作交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．  【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数．（2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度．【拓展提升】（3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）  【答案】【情景建模】见解析；（1）；（2）；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证即可解题．（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长和相交于点，利用勾股定理和第一问的结论得出,即可解题．（3）延长交于点，延长交于点，得三角形全等，利用全等得性质，将转化为，再用代数式表示出、、即可解题．【详解】情境建模证明：点在的角平分线上，，由题知，，，，，（1）解：点、点关于直线对称，直线垂直平分，，，，，又 ，，，，，（2）解：延长和相交于点，如图所示：，，平分，， ，，在中，（3）解：延长交于点，延长交于点，如图所示：、分别平分和，，，由“情境建模”的结论得：，，，，在和中，，，，米，米，米   设，，则，，，，，，，，，的周长答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．