北师大版数学八下同步讲练第三章第04讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第04讲 难点探究专题：旋转中的常见类型(5类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31320" 【类型一 线段绕某点旋转综合问题】  PAGEREF _Toc31320 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3898" 【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】  PAGEREF _Toc3898 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc12902" 【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】  PAGEREF _Toc12902 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc24156" 【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】  PAGEREF _Toc24156 \h 37【类型一 线段绕某点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接．(1)求证：．(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．（1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解；（2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：由旋转性质得，，又，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴四边形的面积为．【变式训练】1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．(1)请判断的形状__________，并写出判断的依据__________；(2)若，求的度数．【答案】(1)等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(2)【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：（1）由旋转的性质可得，结合旋转角为60度，可证是等边三角形；（2）先证，推出，再根据是等边三角形，得出，即可求出的度数．【详解】（1）解：将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，，，是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形），故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；（2）解：是等边三角形，，，由（1）知，，，在和中，，，，是等边三角形，，．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）【问题】如下图，中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则线段，之间满足的数量关系式为______；直线，相交所夹的锐角的度数为______；（2）【探索】如图2，中，，，D为外一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长，交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）【应用】在（2）的条件下，，．求四边形的面积．【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．（1）先证出，再根据全等三角形的性质求解即可得；（2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；（3）先求出，过点作于点，过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：（1）∵在中，，，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，，∴直线，相交所夹的锐角的度数为，故答案为：，；（2）（1）中的结论成立，证明如下：同理可得：，在和中，，，，，又，，解得，即直线，相交所夹的锐角的度数为；（3），∴，如图，过点作于点，过点作于点，，，，，，，，，在中，，即，解得（负值已舍），则，所以四边形的面积为．3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）实践与探究点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动．在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．(1)操作发现①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______；②请写出线段、、的数量关系，并进行证明．(2)猜想论证当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______；(3)拓展延伸如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积．【答案】(1)①；②，见解析(2)(3)2【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键．（1）①先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；②根据全等三角形的性质可得，由此即可得；（2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得；（3）连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，利用三角形的面积公式求解即可得．【详解】（1）解：①∵在中，，，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，，，故答案为：；②，证明如下：，，，．（2）解：由旋转的性质得：，，即，在和中，，，，，，故答案为：．（3）解：如图，连接，∵，，，由旋转的性质得：，，即，在和中，，，，，，即，则的面积为．4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在中，，，D在边上运动（点D不与B，C重合），连接，把线段绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F．(1)如图1，求证：；(2)如图1，当时，请用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并加以证明；(3)如图2，若，G为中点，连接，四边形的面积是否会改变？若会改变请说明理由，若不会改变，请求出它的面积．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)不变，面积是16【分析】（1）根据即可证明；（2）先证明，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）先求出，根据证明得，可证，从而，进而可求出四边形的面积．【详解】（1）∵绕点A旋转得到，∴为等腰直角三角形，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∴．（2），理由如下：由（1）得，当时，∴∴，∴，由（1）得，，∴，∴，∵，∴．（3）四边形的面积不变，理由如下：连接、，∵在中，，，G为中点，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．5．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）在中，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点．(1)如图1，在右侧，，，求的面积；(2)如图2，在右侧，点是的中点，求证：；(3)如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值．【答案】(1)(2)详见解析(3)【分析】（1）本题过点作，由题知，为等腰直角三角形，得出，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，得出，利用勾股定理算出，由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，得出，，为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可知，根据建立方程，求出，最后利用即可求解．（2）本题过点作交于点，连接，由题意得出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，由勾股定理推出，证明，推出，，证明，推出，再根据即可解题．（3）连接，作，，证明，为的角平分线，推出，设，利用等腰三角形直角三角形两腰相等和勾股定理表示出，，，，在利用，即可解题．【详解】（1）解：过点作，如图所示：，由题知，为等腰直角三角形，，，在中，，，由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，，，，，为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可知，，，解得，，．（2）证明：过点作交于点，连接，由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，，，，为等腰直角三角形，由题知，为等腰直角三角形，，，，由勾股定理可知，在与中，，，，点是的中点，，在与中，，，．（3）解：，理由如下：连接，作，，如图所示：由旋转的性质可知，为等腰直角三角形，，，，，，为等腰直角三角形，点在的中垂线上，，，由题知，为等腰直角三角形，又点是的中点，，即，，为等腰直角三角形，，，在与中，，，，为的角平分线，，设，，，，， ，，又，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质、旋转的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的性质和判定、勾股定理、角平分线的性质和判定、中垂线性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，再结合相关性质定理即可解题．【类型二 直角三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点．若，求：(1)的长；(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据旋转性质得到，，再求出，即可得到，根据勾股定理即可求出；（2）根据， 得到，根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵， ∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含角直角三角形性质，等腰三角形判定等知识，熟知相关定理，正确解直角三角形是解题关键．【变式训练】1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．(1)求的值；(2)若，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角的度数；（2）易得是含角的直角三角形，则可求得，根据，求出，再根据旋转，在直角三角形中求出；【详解】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转度后得到，在中，，是等边三角形，（2），，，将绕点按顺时针方向旋转到，，；【点睛】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．(1)求证：平分；(2)试判断与的位置关系，并说明理由；(3)若，，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)BE⊥AB，理由见解析(3)【分析】（1）由旋转的性质得到，，因此，得到，即可证明平分；（2）由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质，即可证明；（3）作于，由三角形内角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到，，，，，平分；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：作于，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，的面积．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等知识，关键是掌握旋转的性质．3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，，分别交于点F，G，连接．  (1)求证：；(2)若，，．①求的长；②连接，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)①；②5【分析】（1）根据旋转性质和三角形的内角和定理可证得结论；（2）①利用平行线的性质和含30度角的直角三角形的性质求得，再根据旋转性质得到，然后利用勾股定理求解即可；②过E作交延长线于M，利用含30度角的直角三角形的性质求得，根据勾股定理求得，，由求解即可．【详解】（1）证明：由旋转性质，得，，∵，，，∴，即；（2）解：①由旋转性质得，，，∵，，∴，，∴，∴；②如图，过E作交延长线于M，   则，，∴，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查旋转性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．      (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数；(2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见详解【分析】本题主要考查旋转的性质、等边对等角以及全等三角形的判定和性质，（1）由题意得，由旋转得，可得．即可求得旋转角；（2）过点D作于点M，延长交于点N，由旋转得和．进一步求得和，可证，则有，结合面积公式即可求得相等．【详解】（1）解：由旋转的性质可得，．∴．∵点B，D，E在同一条直线上，∴，∴旋转角．（2）．理由：过点D作于点M，延长交于点N，如图，    ∵是由绕点C旋转得到，∴，．由（1）可得，∴，．∵，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴．∵，，，∴．5．（23-24九年级上·天津河北·期末）在平面直角坐标系中， O为原点，点，，把绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．  (1)如图①，当时，求的长；(2)如图②，当时，求点的坐标；(3)K为线段上一点，且，S为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．（1）根据勾股定理得，由旋转性质可得．继而得出；（2）作轴，由旋转的性质可得：，在中，由得的长，继而得出答案；（3）如图中，当点在上时，的面积最小，当点在的延长线上时，的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．【详解】（1）∵点，点，∴．在中，由勾股定理得：．根据题意，绕点A顺时针旋转得，由旋转的性质可得：，，∴；（2）如图②，过作轴于D，则，  由旋转的性质可得：，在中，由．∴，由勾股定理得：，∴，∴点的坐标为；（3）∵的值不变，∴当点K到的距离最小时的面积最小，当点K到的距离最大时的面积最大．当点在上时，的面积最小，如图③所示，  ∵，∴，此时，，∴最小面积；当点在的延长线上时，的面积最大，如图④所示：  此时，，∴最大面积；综上所述，．【类型三 等腰直角三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形，如图所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结，．  (1)求证：；(2)如图2，将绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上，与交于点O．①求证：；②求证：；③连结，如图3，若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析；③1【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明即可；（2）①先证明，即可证明，②如图，由可得，再结合角的和差运算可得结论；③证明，求解如图，过点A作于点F，求解，，再利用割补法求解面积即可．【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形∴，，在和中，∴；（2）①∵，∴即在和中，∴，②如图，  ∵是等腰直角三角形，∴，又∵∴，∴，∴③∵，∴又∵，∴又∵，∴如图，过点A作于点F，  又∵是等腰直角三角形∴，∴∴在中，∴∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．【变式训练】1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）把两个等腰直角三角形和按图1所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．    (1)如图1，与的数量关系是______，与的位置关系是______；(2)如图2，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)当旋转角______填度数时，的面积最大．【答案】(1)，且，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)或【分析】（1）由，，则，可得答案；（2）利用证明，得，作的延长线交于点，交于点，由全等知，又，则，从而证明；（3）点的轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，从而得出答案．【详解】（1）解：结论：，且，理由如下：，，，；，点，分别在，上，；故答案为：；；（2）解：成立，理由：根据旋转的性质可得：，，，，，作的延长线交于点，交于点，  ，，，，；（3）解：由题意知，点的轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，  当时，的面积最大，旋转角为或，故答案为：或．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，证明是解题的关键．2．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，，分别为，的中点，将绕点逆时针方向旋转得到（如图），使直线恰好过点，连接．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)求的长；(3)若将绕点逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值．【答案】(1)，理由见解析；(2)的长为；(3)的长为或．【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．（）由，得，证明，，再利用角度和差即可求解；（）由旋转性质可知，的中点，再通过勾股定理得，，设，列出，然后求解即可；（）分当直线恰好过点时当直线恰好过点时几种情况讨论即可．【详解】（1），理由，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵恰好过点，∴，∴，∴；（2）∵，，∴在中，由勾股定理得，由旋转性质可知，的中点，∴同上可得，，由（），，∴，设，在中，由勾股定理得，，整理得：，解得：，（舍去），∴；（3）当直线恰好过点时，如图，由（）得：，当直线恰好过点时，如图，同（）理，，如图，同（）理，，∴，设，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，，解得：，（舍去），∴，综上的长为或．3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践将一块含角的大直角三角板和一块含角的小直角三角板按如图1所示的方式摆放．如图2，将绕点逆时针旋转，连结．  (1)求证：．(2)在旋转的过程中，如图3，当三点共线时，设与交于点．①试判断的形状，并说明理由；②若是的中点，请直接写出和的面积关系．【答案】(1)见解析(2)①直角三角形，理由见解析；②相等【分析】该题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质“旋转前后对应角相等，对应边相等，旋转角相等”，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的常用方法“”；（1）根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质可证明；（2）①等腰直角三角形可得，再根据三点共线，可得，再根据得出，即可求解．②根据是的中点，可得，再根据，可得，由即可解答；【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，．由旋转的性质，得．在与中，，．（2）解：①是直角三角形．理由：根据题意，得．三点共线，．由（1），得．．是直角三角形．②是的中点，又由（1）知，，和的面积相等．4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．(1)当为_________度时，，并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；(3)当旋转速度为秒时．且它的一边与平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．【答案】(1)15，图见解析(2)当时，；当时，；当时，(3)或21或30【分析】（1）根据得出，根据即可求解；（2）设，，在旋转过程中，分当时，当时，当9时，三种情况根据平行线的性质即可求解；（3）分①当，②当，③当时，分别画出图形即可求解．【详解】（1）当时，，如图：故答案为；（2）设：，，①如图，当时，，，故，即；②当时，，即③当时，，，即，即；（3）①当时，由（1）可知，∴，∴；②当时，则，∴，∴，∴∴；③当时，则，∴，∴；综上，或或或或．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．(1)当 秒时，；(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值；(3)当边与边、分别交于点M、N时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说明理由．【答案】(1)3(2)为6或15或24(3)是定值，，理由见解析【分析】（1）由平行求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；（2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值；（3）找出与，，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．【详解】（1）∵，，，∴，，如图，当时，，平分，，，又为的一个外角，，；故答案为：3；（2）①如图，当时，  ，，；②如图，当时，  ，，，；③如图，当时，  ，，综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等；（3）是为定值105，理由如下：是的一个外角，是的一个外角，，，又，，，，．【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是关键．6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，，，．(1)用数学的眼光观察．如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由；(2)用数学的思维思考．如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由；(3)用数学的语言表达．如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)或【分析】（1）用证明，即可求解；（2）证明、，即可求解；（3）①如图所示，过点作于，求出，，得到，即可求解；②如图所示，过点作于，同理可解．【详解】（1）解：，理由：，，，，则；（2）解：，理由：点作交的延长线于点，，，是中点，则，，，，，，，，，，则；（3）解：旋转得到，，三点共线，①如图所示，过点作于，是等腰三角形，，，，，在中，，，，即旋转得到，，三点共线时，；②如图所示，过点作于，同理，，即旋转得到，，三点共线时，，综上所述，线段的长为：或．【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键．【类型四 等边三角形绕点旋转综合问题】例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边中，点D是等边内一点，连结，，将绕点A逆时针旋转得到，连结，观察发现：与的数量关系为 ， 度；【尝试应用】：如图2，在等腰中，，，点D是内一点，连结，，， ，，，求面积．【拓展创新】：如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且，，则的值为 ．  【答案】【问题背景】：，60；【尝试应用】：；【拓展创新】：或；【分析】问题背景：是等边三角形，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断再用等边三角形的性质即可得出；尝试应用：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明，推出，再证明C，D，T共线，可得结论；  拓展创新：分两种情形：当点D在的上方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，设，则.再求出，，可得结论；当点D在的下方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，设，则，过点D作交的延长线于点H.再求出，，可得结论.【详解】问题背景：由题意可知，是等边三角形，，；故答案为：，；尝试应用：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接.  ，,共线，.拓展创新：①当点D在的上方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，，设，则.  ，，，，过点B作于点H ，则，，，，，.②当点D在的下方时，将线段绕点A逆时针旋转得到,连接，设则过点D作交的延长线于点H.  同法可证，，，综上所述，的值为或故答案为：或【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．(1)在图①中证明；(2)如图②，当时，连接，求的面积；(3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）根据和为等边三角形得到对应边和角相等，再利用角度的变化即可求证全等；（2）利用得，过点A作交与点H，过点D作交与点G，再利用含的直角三角形解得的值，结合面积公式即可求得；（3）利用第二问结论，分析出的面积最大时与在同一条直线上，且点D在外部，的面积最小时与在同一条直线上，且点D在内部，根据三角形面积公式即可求得答案．【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形，∴，∵∴，在和中，∴．（2）连接，同理有成立，得，∵，∴，过点A作交与点H，过点D作交与点G，如图，∵为等边三角形，∴，，∴，在中，在中，，∴，则．（3）过点A作交于点H，当与在同一条直线上，且点D在外部时的面积最大，如图，  ∵，，∴，则；当AD与AH在同一条直线上，且点D在内部时的面积最小，如图，  则，那么，的面积S的取值范围：．【点睛】本题主要考查几何图形的变化，利用等边三角形的性质、勾股定理和含的直角三角形性质判定三角形的全等、求三角形面积的知识点，解题的关键为作辅助线求面积．2．（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．【答案】(1)，；(2)成立，理由见解析(3)【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．（1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论；（2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出；（3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：是等边三角形，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，，，，且（2）（1）中结论仍成立，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，，，，且，；（3）是等边三角形，，当旋转=时，B、C、D三点共线，此时，当旋转=时，B、C、D三点共线，此时；∴．3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，和都为等边三角形，点、分别为、的中点．(1)当点、分别在、上时（如图），求证：；为等边三角形；(2)绕点逆时针方向旋转，当点、、共线时（如图），（）中的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转，当点在上时（如图），（）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)仍然成立，理由见解析；(3)仍然成立，理由见解析．【分析】（）由等边和的性质得出，，再根据等边三角形的判定即可；（）由等边和的性质得出，，由证明，再根据等边三角形的判定即可；（）由等边和的性质得出，，由证明，再根据等边三角形的判定即可；此题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明如下：∵和都为等边三角形，∴，，∴，即，由可知，，，∵点、分别为、的中点，∴，∴，又，∴为等边三角形；（2）还成立，证明如下：（）∵和都为等边三角形，∴，，，∴，∴，（）由（）可知，，，而点、分别为、的中点，∴，∴，∴，，∴，∴为等边三角形；（3）仍然成立，证明如下：∵和都为等边三角形，∴，，，∴，∴，，又点、分别为、的中点，∴，∴，∴，，∴，∴为等边三角形．4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；【类比探究】（3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．【答案】（）见解析；（）见解析；（）或．【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证；（）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证；（）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论．【详解】证明：（）和都是等边三角形，，，，．．．．在和中，，；（）和都是等边三角形，，，，，，，．在和中，，．．，；（）或．理由如下：如图，当在线段上时，∵和都是等边三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴；，∵，∴，∵，∴，∴，∴；如图，当在线段的延长线上时，同理可得：，∴，∵，∴，同理可得：，∴．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．