初中数学北师大版（2024）八年级下册1 平行四边形的性质优秀精练

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2．会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题.
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
知识点02 平行四边形的性质
平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）： = 1 \* GB3 ①对边相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注： = 1 \* GB3 ①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；
= 2 \* GB3 ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
题型01 平行四边形的性质
【例题】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形是中心对称图形，故②正确，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）下面关于平行四边形的性质描述正确的是（ ）
A．平行四边形的对称中心是对角线的交点
B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线
C．平行四边形不是中心对称图形
D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形、轴对称的性质，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质，结合中心对称图形以及轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A．平行四边形的对称中心是对角线的交点，说法正确，故本选项符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（ ）
A．外角和等于B．对角线互相平分
C．内角和等于D．有两条对角线
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，即可求得答案．
【详解】解：平行四边形具有的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；
一般四边形具有：外角和等于，内角和为，有两条对角线．
平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
题型02 利用平行四边形的性质求角度
【例题】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形中，，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到邻角互补，得到，再根据平行四边形对角相等，即可得解．
【详解】解：∵平行四边形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，，平分且交于点，且交于点，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得，根据平行四边形的性质得，再根据平行线的性质即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解： 平分，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：．
题型03 利用平行四边形的性质求线段长
【例题】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．找到平行四边形中的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴在中，
，
∴的长为．
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在中，，对角线交于点O，，则的长是（ ）

A．B．3C．D．5
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由平行四边形的性质可得，，证明是直角三角形，且，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，即，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为 （ ）
A．4B．6C．6或8D．4或6
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行加角平分线，得到均为等腰三角形，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
如图①，当点在点的左侧时：，
∴；

如图②，当点在点的右侧时，，
∴

综上：或；
故选D．
题型04 利用平行四边形的性质求面积
【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键．
根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴和关于点O中心对称，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积与的面积比值是．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ．
【答案】3
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．

【答案】12
【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
题型05 利用平行四边形的性质求坐标
【例题】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）在中，对角线，相交于点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，根据平行四边形对角线互相平分可知点A与点C，点B与点D分别关于原点O对称，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，进而求出点B的坐标，即可求出点D的坐标．
【详解】解：∵在中，对角线，相交于点，
∴点A与点C，点B与点D分别关于原点O对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，平移的性质，以及坐标与图形的关系，正确建立坐标系画出平行四边形是解题关键．根据图形，得出C点横纵坐标即可得出答案．
【详解】解：设，
四边形是平行四边形，
，且．
，即．
，即．
，，
．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·四川广元·阶段练习）在平面直角坐标系里，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质，A、B、C的坐标求出即可．
【详解】解：如图，
如图有三种情况：①平行四边形，
∵，
∴，
∴，
则D的坐标是；
②平行四边形，
∵，
∴，
∴，
则D的坐标是；
③平行四边形，
∵，
∴的纵坐标是，横坐标是，
则D的坐标是，
故答案为或或．
题型06 利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
【例题】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①，
由，，得，故②正确，设，则，对，运用勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
，，，，
，，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
，，
，
设，则，在中，，
∴，
∴在中，，
∴，∴，故③正确；
，，
是的中点，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立．
【详解】解：①延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
过点作交延长线于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，则为等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正确；
由勾股定理可知，，则，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
故④不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（ ）
；；；．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．
题型07 利用平行四边形的性质求折叠问题
【例题】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，点E为平行四边形中边上一点，将沿折叠至处，，，则的大小为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质，三角形的内角和定理，以及折叠的性质，分别求出的度数，互补求出的度数，利用进行计算即可．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为 ．
【答案】4
【分析】
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值．
【详解】
解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
2．（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为 ．
【答案】
【分析】
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
设点的对应点为点，由平行四边形的性质得，，，则，由折叠得，，，所以，而，则，所以是等边三角形，则，所以，即可推导出，则，于是得到问题的答案．
【详解】
解：设点的对应点为点，
四边形是平行四边形，，，
，，，，
，
由折叠得，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
题型08 利用平行四边形的性质求动点问题
【例题】（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（ ）
A．20B．10C．15D．12
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点C处时，，即，当点M到达点D时，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】解：由图2得，当点M在点C处时，，即，
∴，
当点M到达点D时，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴的面积是．
故选：D．
【变式训练】
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题综合考查了性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
【详解】解：过点作于点
∵的四条边都相等，
∴．
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从点到点时，用时为
，
中，
，
的四条边都相等，
，
中，
，
解得：
故选：C．
2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，
厘米，
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：秒，
当点在上时，；故排除；
当时，点在点处，过点作于点，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
题型09 利用平行四边形的性质证明
【例题】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且．
(1)写出图中与相等的角，并证明；
(2)求证：
(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，由垂直的定义得，然后根据等式的性质可得；
（2）延长交于点F．由平行四边形的性质得，求出可得，然后根据证明即可证明结论成立；
（3）由可得，进而可证，然后由勾股定理得，从而可得．
【详解】（1）．
证明：四边形ABCD是平行四边形，
．
，
．
．
即．
（2）如图，延长交于点F．
四边形ABCD是平行四边形，
．
．
．
，
．
在中，．
．
，
．
．
，
．
（3）．
由（2）可得，，
．
在中，，由勾股定理可得，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可．
（1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∵，
∴．
2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．

(1)求证：平分；
(2)若点E为中点，求证：；
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)168
【分析】（1）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证；
（2）证明，即可得到，根据即可证明；
（3）过点E作于M，设，则，根据勾股定理列出方程 ，解得，进而得到，即可求出．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：∵点E为中点，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点E作于M，设，则．
根据勾股定理得 ，
解得，
，
．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
一、单选题
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行和角平分线可得，即可得到，最后根据计算即可．
【详解】∵，，，
∴，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由等腰三角形的性质可得，由平行四边形可得，进而得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】如图，作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可．
【详解】解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线、间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．（23-24八年级下·江苏·周测）在中，，平分交边于点E，平分交边于点F，若点E与点F的距离为2，则的长为（ ）
A．2B．5C．2或5D．3或5
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：①如图1，在中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如图2：在中，
∵，
∴，
∵平分交边于点E，平分交边于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
综上所述：的长为3或5，
故选：D．
5．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，P是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的（ ）
A．①③B．②③C．①②D．②④
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积根据平行四边形的性质可以得到，，设点到、、、的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
设点到、、、的距离分别为分别为平行四边形的边和边的高
则
，
又，
，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能得出，故②错误；
根据，能得出的面积为，故③正确；
由题意只能得到无法得到，故④错误；
故选：A．
二、填空题
6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和题意，可以计算出和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
故答案为：．
7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质和勾股定理的逆定理．利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明得到，所以，然后利用勾股定理的逆证明证明为直角三角形，，则，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】
解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
∴，，，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
为直角三角形，，
∵，
，
在中，．
故答案为：．
8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点作于点，勾股定理求得，证明，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线和相交于点，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
同理：
∴阴影部分面积面积,
故答案为：．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】根据平行四边形中，，要使是直角三角形，则，，画出图形，分类讨论，即可．
【详解】当，，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，设交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
综上所述，当的长为或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查平行四边形、直角三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可．
10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】1或9
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出，，，，根据平行四边形的判定得出当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，；
②当点P在点E的右侧时，；
综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
三、解答题
11．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质求出，然后可得的度数，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，，证明，可得，求出，然后根据平行四边形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点．
(1)如图1，点E在的边上；
(2)如图2，点E在外．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键．
（1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求；
（2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明；
（2）由平行四边形的性质得，由（1）所证及，即可证明；
（3）由（2）及已知得，，进而得；即可得；证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键．
14．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，证明；
(3)过点作，垂足为．若的周长为，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)84
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的性质得出，由平行线的性质得出，由即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得，从而得出，推出四边形是平行四边形，即可得证；
（3）作，由题意得出，再由角平分线的性质得出，最后根据计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
分别平分，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：作，
，
的周长为56
平分，
，
．
15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)当时， 求t的值；
(3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或4
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）先算出，再结合点Q的运动方向、速度以及起点，进行分类讨论，即可作答．
（2）先证四边形是平行四边形，可得，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解；
【详解】（1）解：∵，，
∴
点从点出发，以速度沿射线运动，
当在线段上时，
∴
∵动点从点出发沿以速度向终点运动，，
∴，
当在的延长线上时，；
（2）解：过点作于，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（3）解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4.
16．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图1，在中，于E，E恰为BC的中点．

(1)求证：；
(2)如图2，点在上，作于点，连结．求证：；
(3)请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）首先根据知：，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作，交于，通过证，来得到是等腰直角三角形且，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．
【详解】（1）证明： ∵，
∴；
∵是中点，
∴，
即；
又∵四边形是平行四边形，则；
故．
（2）证明：作，交于；(如图2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
（3）解：如图3，

①当在线段上时，有，
证明方法类似（2）．
②如图中，点在上，．

理由：将绕点逆时针旋转得到
∴，
同（1）可得∶
，
则．
③如图，点在的延长线上，，

证明方法类似（2）．
综上所述，与之间的数量关系为：、
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确的构造出全等三角形是解题的关键．