北师大版数学八下同步讲练第六章第六讲 解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型（解析版）

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第6讲 解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马模型(2类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9506" 【考点一 两条线段和的最小值】  PAGEREF _Toc9506 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22248" 【考点二 多条线段和（周长）最小值】  PAGEREF _Toc22248 \h 10【考点一 两条线段和的最小值】模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。例题：（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ．【答案】【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可．【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．【变式训练】1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为 ．【答案】【分析】作点D关于的对称点M， 交于点T，连接，以为邻边在的外面作平行四边形，过点C作，垂足为G，的延长线与的延长线交于H，根据轴对称的性质可知：，再由平行四边形的性质得出当C，F，N在同一条直线上时，为最短，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：作点D关于的对称点M， 交于点T，连接，以为邻边在的外面作平行四边形，过点C作，垂足为G，的延长线与的延长线交于H， 根据轴对称的性质可知：，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，根据“两点之间线段最短”可知：当C，F，N在同一条直线上时，为最短，即：为最小，此时的最小值即为线段的长，∵是边长为6的等边三角形，∴，∵点D、M关于对称，在中，，∴，，∴，，，∴四边形为矩形，∴，∵是边长为6的等边三角形，，，， ∵四边形为平行四边形，，在中，，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查轴对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理解三角形，平行四边形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．2．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ．【答案】【分析】作，且使，连接．作点关于x轴的对称点C'（0，-3），连接交x轴于点W，连接，推出当点在点W处时，最小，最小值是的长，再利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图，作且使，连接，∴四边形是平行四边形，，，∵点，，∴设点1），∴点．作点关于x轴的对称点连接，，交x轴于点W，，∴当点在点W处时，最小，最小值是的长．，的最小值是故答案为【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，平面直角坐标系中的平移，平行四边形的判定与性质，勾股定理，能灵活运用平移和轴对称构造将军饮马模型是解题的关键．3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，对角线于点O，若，，则的最小值为 ．  【答案】【分析】过点B作，过点C作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，根据，当D，C，E三点共线时，取得最小值，此时，计算即可，本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，熟练掌握三角形不等式，平行四边形的性质是解题的关键．【详解】解：过点B作，过点C作，二线交于点E，∵∴四边形是平行四边形，∴，，∵，，，当D，C，E三点共线时，∴取得最小值，∴取得最小值，此时，故答案为：．   4．（22-23八年级下·贵州黔东南·期末）如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是 ．  【答案】【分析】取的中点N，连接作交的延长线于H，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【详解】解：如图，取的中点N，连接，作交CD的延长线于H，  由题意可得：∵点N是的中点，∴∴∵∴是等边三角形，∴∴∵∴∴∴∴点G的运动轨迹是射线，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值为；故答案为．【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过点D作的垂线，F为垂线上任意一点，连接，G为的中点，连接，则的最小值是 ．【答案】【分析】取的中点，连接，推出三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，，，∴，，取的中点，连接，∵，为的中点，∴，∴，∵为等边三角形，∴，，∴三点共线，∴点在直线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作，∴，垂直平分，∴当三点共线时，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．∴的最小值是；故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题．综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是确定点的运动轨迹．6．（22-23八年级下·四川成都·期中）在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为 ．    【答案】【分析】取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点，  则，由翻折得到，，又点为中点，，，在和中， ，，，要求的最小值，只要求的最小值即可，当，，三点在一条直线上时，取最小值，此时，即的最小值为．在中，，，则∴,， 在中，，故答案为：．【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键．【考点二 多条线段和（周长）最小值】模型2. 求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短。例题：（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，．连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点P在点的左侧）在线段上运动，，连、，则的最小值为 ．【答案】【分析】取的中点G,连接，则，，取的中点M，连接，设与的交点为F，故点G，M关于直线对称；连接，过点N作于点T，连接，连，则,故，当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为，计算即可，本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式求最值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式求最值是解题的关键．【详解】∵四边形是平行四边形，， ∴，，∵，∴,，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴，如图所示，取的中点G,连接，则，，∴，，取的中点M，连接，设与的交点为F，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故点G，M关于直线对称；连接，∴，过点N作于点T，连接，∵四边形是平行四边形，，，∴，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∵,，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，连，则,故，当B，P，M三点共线时，取得最小值，最小值为，过点M作于点H，则,∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【变式训练】1．（23-24九年级上·山东临沂·期末）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 . 【答案】/【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键．【详解】解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示：∵，且∴四边形为平行四边形∴∵点关于轴的对称点为，∴∴∵∴的最小值为：故答案为：2．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为 ．  【答案】【分析】在BC上取一点，使得，连接B′N．首先证明，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值，求出B′T可得结论．【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．∵，，∴四边形是平行四边形，∴．由旋转的性质可知，和都是等边三角形，∴，．∴．要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值．∵中，，．∴，．由旋转的性质可知：，，∴，在中，，，∵．∴，∴．∴的最小值是．故答案为：．  【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转变换，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ．【答案】/【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角的性质和判定，轴对称等．过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则，可得五边形的周长最小值为，再根据平行四边形的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，，再由勾股定理可得，即可求解．【详解】解：如图，过点F作交于点Q，作点E关于的对称点P，连接，并延长交于点M，则， ∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴五边形的周长为，∴五边形的周长最小值为，∵点为边上的中点，，∴，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即五边形的周长最小值为．故答案为：．4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．  【答案】/【分析】如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．证明四边形是平行四边形即可解决问题．【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．  ，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形的周长．故答案为．【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．5．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．  【答案】18【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C， 则且，于是为平行四边形，  故，当时，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ．【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．6．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．  【答案】【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，由作图得：，，∴的周长，∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，∵，∴，∴是等边三角形，∴；过D作交直线于P，∵四边形是平行四边形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴点P与点B重合，∴，∴∴的周长最小值为，  故答案为：．【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．