北师大版数学七上同步讲练第4章第05讲 难点探究专题：几何图形中动角问题(3类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第05讲 难点探究专题：几何图形中动角问题(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23545" 【考点一 几何图形中动角定值问题】  PAGEREF _Toc23545 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22091" 【考点二 几何图形中动角数量关系问题】  PAGEREF _Toc22091 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13592" 【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】  PAGEREF _Toc13592 \h 11【考点一 几何图形中动角定值问题】例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，(1)求的度数.(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.【答案】(1)(2)发生变化，理由见解析(3)不变，【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；（3）根据（1）的结论即可求解．【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴（2）解：∵，∴转动时同样在动，同理同样转动；（3）不变同样35°；解：当射线在的内部线绕点转动时，∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2021春·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中  (1)若时，______°；(2)善于思考的小明发现，在旋转过程中，①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值，定值：①______；②______．(3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围．【答案】(1)9(2)，；(3)【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案；（2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案；（3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）∵在的内部，如图，  ∴；∴；（3）∵，分别平分和，  ∴，，∵由（1）得：，由（2）得：，∴．【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算是解本题的关键．2．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不会发生变化，，理由见解析【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；②由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：由题意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴ ．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．(1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为 ；(2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为 ；(3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数．【答案】(1)(2)(3)的度数不变，为，图形见解析【分析】（1）利用角平分线的定义得到即可求解；（2）通过角的转化得到即可求解；（3）通过角的转化得到即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵，分别是，的角平分线，∴，∴（2）∵，分别是，的角平分线，∴，∴；（3）的度数不变，为，作图见下图．∵，分别是，的角平分线，∴，∴；∴的度数不变，为．【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差转化，解题关键是能利用角平分线的定义得到关于的表达式，再利用角的和差关系进行计算即可．【考点二 几何图形中动角数量关系问题】例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．  (1)如图1，当平分时，求的度数；(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．【答案】(1)(2)不改变，，理由见解析【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在内部时．令，则，，∴，∴；②的两边在射线的两侧时．令，则，，，∴，∴．综上可得，和的数量关系不改变，【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，OE平分．  问题发现：(1)如图1，若，则的度数为______；(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）先求解再利用角平分线的含义求解再利用角的和差关系可得答案；（2）先求解，再利用角平分线的定义可得，再利用角的和差关系可得结论；【详解】（1）解： 平分 故答案为：；（2）．理由：因为是直角所以所以因为平分所以所以所以．【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键．2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．(1)如图1，若是的平分线，求的度数；(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．【详解】（1）∵是的平分线，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），设，则，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．3．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．(1)若时，则的度数为__________；(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：__________．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；（3）根据（2）的解题思路，即可解答．【详解】（1）由已知得，又是直角，平分，，故答案为：；（2）；理由：是直角，平分，，则得，所以得：；（3）；理由：平分，，则得，所以得：．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的定义、及角的计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】例题：（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿道时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为(的值在到之间，单位：秒)．  (1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)秒(3)存在，秒或秒【分析】（1）当时，，，根据平角减去，即可求解；（2）根据题意，当第二次达到时，则，解方程即可求解；（3）当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，分别解方程即可求解．【详解】（1）解：当时，，，所以，答：的度数是；（2）根据题意，当第二次达到时，，解得，答：当第二次达到时，的值是秒；（3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下：当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得；当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得，综上所述，的值是秒或秒．【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．  (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．【答案】(1)；平分，理由见解析(2)的值为或【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前,当平分时，，则,解得：，结论：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，  则 ，∴，∴，当停止时, 平分, 则有,  ∴,综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．  (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由题意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，当时，．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．  (1)【探索新知】如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果）(2)【深入研究】如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．①当为何值时，射线是的“巧分线”．②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．【答案】(1)①是；②或或(2)①或或；②或或【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是②∵，当是的角平分线时，∴；当是三等分线时，较小时，∴；当是三等分线时，较大时，∴；故答案为：或或；（2）解：①∵是的“巧分线”，∴在内部，所以转至左侧，∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．∴．当时，如图所示：  ，解得；当时，如图所示：  ，解得；当时，如图所示：  ，解得．∵或或均在的范围内，∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”；②依题意有：在的内部，∴，，当时，如图所示：  ，解得；②当时，如图所示：  ，解得；③当时，如图所示：  ，解得．∴当t为或或时，射线是的“巧分线”．【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．