人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀同步测试题

这是一份人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀同步测试题，文件包含人教版数学九上同步讲练第21章第03讲解一元二次方程公式法原卷版docx、人教版数学九上同步讲练第21章第03讲解一元二次方程公式法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

知识点01 根的判别式
根的判别式：
用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
【即学即练1】
1．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
【即学即练2】
2．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3
【解答】解：∵方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠3．
故选：D．
知识点02 利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③时，一元二次方程没有实数根。
公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】
3．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（ ）
A．﹣43B．﹣28C．45D．60
【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．
故选：D．
【即学即练2】
4．下列方程中，以x＝为根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0B．x2+5x﹣c＝0C．x2﹣5x+4c＝0D．x2+5x+c＝0
【解答】解：A．此方程的根为x＝，不符合题意；
B．此方程的根为x＝，符合题意；
C．此方程的根为x＝，不符合题意；
D．此方程的根为x＝，不符合题意；
故选：B．
【即学即练3】
5．利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x＝＝，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为．
故选：D．
【即学即练4】
用公式法解方程：
（1）：x2+2x﹣6＝0．
【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴x＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．
【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），
化简为x2﹣6x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，
∴，
∴，．
知识点03 根与系数的关系
根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
与 。
①求 。
②求 。
根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
题型考点：根据根与系数的关系求式子的值。
【即学即练1】
7．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
【即学即练2】
8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（ ）
A．22B．﹣22C．﹣26D．26
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，
∴x1x2＝﹣24，x1+x2＝2，
则原式＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣24﹣2＝﹣26．
故选：C．
【即学即练3】
9．已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则的值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，
∴a+b＝5，ab＝﹣6，
则原式＝＝＝﹣，
故选：D．
【即学即练4】
23．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，且，则m值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，方程的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝8（1﹣m）≥0，
∴m≤1，
∵，
∴+＝（x1•x2）2，
∴4﹣2（2m﹣1）＝（2m﹣1）2，
整理得：4m2＝5，
解得，
∵m≤1，
∴，
故选：B．
题型01 根据一元二次方程的根的情况求值
【典例1】
若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
变式1：
若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（ ）
A．m＜B．m＜且m≠﹣1C．m≤D．m≤且m≠﹣1
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，
∴m+1≠0且Δ≥0，
∴m≠﹣1且（﹣3）2﹣4（m+1）×2≥0，
解得m≤且m≠﹣1，
故选：D．
变式2：
对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
题型02 根与系数的关系
【典例1】
方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（ ）
A．B．1C．﹣3D．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【典例2】
已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，则的值是（ ）
A．B．3C．﹣3D．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝1，
∴＝+＝＝＝＝﹣3．
故选：C．
【典例3】
若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式﹣2x1+x2的值等于（ ）
A．2029B．2028C．2027D．2026
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，
∴﹣3x1﹣2023＝0，x1+x2＝3，
∴﹣3x1＝2023，
∴﹣2x1+x2＝﹣3x1+x1+x2，＝2﹣23+3＝2026．
故选：D．
【典例4】
已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣1
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，
∵
＝
＝
＝
＝
＝，
当m+n＝﹣3时，原式＝．
故选：C．
题型03 根的情况与根与系数的关系
【典例1】
已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若两个实数根分别是x1，x2，且，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＞0，
即m＜1；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m，
∵，
∴（m﹣1）2﹣4＝0
∴m﹣1＝±2，
解得m＝3或m＝﹣1，
而m＜1，
∴m的值为﹣1．
【典例2】
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
1．一元二次方程x2+2＝2x根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【解答】解：∵x2+2＝2x，
∴x2﹣2x+2＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1
【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，
解得c＝﹣7，
所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，
∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，
∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，
解得：a≤﹣，a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
故选：A．
4．若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+＝（ ）
A．mB．﹣mC．2mD．﹣2m
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴＝m，
解得：b+＝﹣2m，
故选：D．
5．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．当b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
【解答】解：A．将x＝﹣1代入原方程，得a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的根；
故A中的说法错误；
B．当b＝0且方程存在实数根时，；
故B中的说法正确；
C．若ac＜0，则﹣4ac＞0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程必有两个不相等的实数根；
故C中的说法正确；
D．若b＝2a+c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2．
∵a≠0
∴4a2+c2＞0，故方程有两个不相等的实数根；
故D中的说法正确．
故选：A．
6．如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得4+t＝6，
解得t＝2，
所以方程的另一个根为2．
故选：A．
7．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（ ）
A．2023B．2021C．2026D．2027
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝3﹣a，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2023
＝3﹣a﹣b+2023
＝﹣（a+b）+2026
＝1+2026
＝2027，
故选：D．
8．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【解答】解：根据与，
可得a＝3，b＝7，c＝1，
从而得到一元二次方程为3x2+7x+1＝0．
故答案为：3x2+7x+1＝0．
9．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x＝，（第三步）．
∴x1＝，x2＝（第四步）．
小明是从第 步开始出错．
【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
10．如果代数式x2+x+2与5x﹣2的值相等，那么x＝ ．
【解答】解：根据题意得x2+x+2＝5x﹣2，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
故答案为：2．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝9﹣4（2﹣m2﹣m）＝4m2+4m+1＝（2m+1）2，
∵无论m为何实数，总有（2m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2﹣m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2（2﹣m2﹣m）＝5+2m2+2m＝9，
解得m＝1或﹣2．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．课程标准
学习目标
①根的判别式
②公式法解一元二次方程
③根与系数的关系
学会利用根的判别式判断根的情况，同时根据根的情况利用根的判别式求值。
掌握公式法解一元二次方程。
掌握根与系数的关系。