人教版（2024）八年级下册18.2.1 矩形精品练习

这是一份人教版（2024）八年级下册18.2.1 矩形精品练习，文件包含人教版数学八下同步讲练第18章第03讲矩形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、人教版数学八下同步讲练第18章第03讲矩形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。

知识点01 矩形的定义及其性质
矩形的定义：
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
特殊性质：
②边的特殊性：邻边 相互垂直 。
③角的特殊性：四个角都是 直角（或90°） 。
④对角线的特殊性：对角线 相等 。即对角线 相互平分且相等 。
即：AC ＝ BD，OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD。
由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 等腰三角形 。
⑤面积：等于任意一组 邻边 的乘积。
⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对边平行
【解答】解：矩形的特性是：四角相等，对角线相等．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（ ）
A．B．2C．D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴AE＝ED＝EC，
∵∠AED＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝CD＝，
故选：C．
【即学即练3】
3．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴AC＝2CD，
∴BD＝2AB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴∠OAD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，
故选：C．
知识点02 直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边的中线的性质：
由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。
【即学即练1】
4．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【解答】解：由图可得，∠BAC＝90°，BC＝8﹣2＝6（cm），
∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BC＝3（cm），
故选：A．
知识点03 矩形的判定
直接判定：
有三个角（四个角）是 直角 的四边形是矩形。
符号语言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC
∴四边形ABCD是矩形
利用平行四边形判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：∵在▱ABCD中，∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：∵在▱ABCD中，AD=BC
∴四边形ABCD是矩形
【即学即练1】
5．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形．
【解答】证明：∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD，
∵四边形AEBO是菱形，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
题型01 利用矩形的性质求线段或周长
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2B．C．D．3
【解答】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴BF＝DE，S△AOE＝S△DOE＝5，
∴S△ACE＝2S△COE＝10．
∴AE•CD＝10，
∵CD＝4，
∴EE＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE＝＝3．
故选：D．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（ ）
A．6cmB．C．12cmD．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD＝6cm，
∴BD＝2OD＝12cm，
故选：C．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE，
设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1，
∵CE2+CD2＝DE2，
∴（x﹣1）2+32＝x2，
∴x＝5，
∴AD＝5，
故选：B．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．12B．16C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴矩形ABCD的周长为2（AB+BC ）＝2×＝4+4．
故选：D．
【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
题型02 利用矩形的性质求角度
【典例1】如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝50°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠ODC，
∵∠COD＝∠AOB＝50°，
∴∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°；
故选：D．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD交BD于点E，∠AOB＝110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，∠ADO+∠ABD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADO＝∠OAD，
∵∠AOB＝∠OAD+∠ADO，
∴∠BAE＝∠OAD＝∠ADO＝∠AOB＝×110°＝55°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
【变式2】翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠1+∠MJG＝90°，∠2+∠MGJ＝90°，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠MJG＝∠MGJ＝60°，
∴∠GMJ＝180°﹣∠MJG﹣∠MGJ＝60°，
∴∠5＝60°，
∵IJ∥KL，EF∥GH，
∴四边形NPMO是平行四边形，
∴∠4＝∠5＝60°，
∴∠3＝∠4＝60°，
故选：D．
【变式3】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（ ）
A．B．C．α﹣45°D．
【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAC＝α，
∴∠CBD＝90°﹣α，
∵BE＝AC＝BD，
∴∠BDE＝∠E，
∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E，
∴2∠E＝90°﹣α，
∴∠E＝45°﹣，
故选：B．
【变式4】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为（ ）
A．αB．45°+C．45°﹣D．90°﹣α
【解答】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：
在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，
∴∠ECG＝90°，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∵EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵∠BAF＝α，
∴∠DAE＝，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠FEC＝∠DAE＝，
∵∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣＝45°+，
故选：B．
题型03 利用矩形的性质求点的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），则第四个顶点的坐标是 （3，﹣1） ．
【解答】解：设第四个顶点的坐标为（m，n），
∵长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），
∴长方形的宽为2﹣（﹣1）＝3，长为3﹣（﹣1）＝4，
∴m﹣（﹣1）＝4，2﹣n＝3，
解得m＝3，n＝﹣1，
即第四个顶点坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【变式1】如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，
∴∠CEO＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AB∥OC，
∴∠ABF＝∠COE，
∴△OCE≌△ABF（AAS），
同理△BCE≌△OAF，
∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，
∵A（2，1），B（0，5），
∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，
∴OE＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故选：D．
【变式2】在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣6，3）B．（3，﹣6）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣3，﹣6）
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∵A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），
∴点D的横坐标与点A的横坐标相同，为﹣6，
点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为﹣3，
∴点D的坐标为（﹣6，﹣3）．
故选：C．
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴的正半轴和负半轴上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，则点C的坐标为（ ）
A．B．（﹣2，﹣2）C．D．
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，
∴∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，BO＝DO＝4，
∴∠ABC＝90°，BD＝8，
∵∠ABO＝60°，
∴∠CBE＝30°，
∵∠BCD＝90°，
∴CD＝BD＝4，BC＝CD＝4，
∵∠CBE＝30°，∠CEB＝90°，
∴CE＝BC＝2，BE＝CE＝6，
∴OE＝2，
∵点C在第三象限，
∴点C（﹣2，﹣2），
故选：D．
【变式4】在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 （﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4） ．
【解答】解：如图，
∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），
∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDO＝90°，
设BC与y轴交于E，
当DP＝DO＝5，
∴CP＝＝3，
∴PE＝2，
∴P（﹣2，4），
当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，
∴P（﹣3.4）或（3，4），
综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），
故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．
题型04 直角三角形斜边上的中线的性质的应用
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝ 8 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，BD＝8，
∴AC＝2BD＝16，AD＝CD＝AC，
∴AD＝8．
故答案为：8．
【变式1】如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AB的中点E处，已知AB＝6m，则点C到点E的距离是（ ）
A．6mB．2.5mC．4mD．3m
【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝×6＝3（m），
即点C到点E的距离是3m，
故选：D．
【变式2】如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小B．不变
C．变大D．先变小再变大
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，
∴OM＝AB．
同理OM＝．
∵AB＝CD．
∴OM的长度不变．
故选：B．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 75° ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵AB＝2AC，
∴CA＝CD，
∵CA＝CE，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣30°）＝75°．
故答案为：75°．
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中线，AB＝4，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案为：．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7B．8C．D．
【解答】解：连接DF，DE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴F是BC中点，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴EF＝BC＝×12＝6，
同理：FD＝AB＝×16＝8，DE＝AB，
∴DF＝DE，
∵M为EF的中点，
∴DM⊥EF，FM＝EF＝3，
∴DM＝＝＝．
故选：C．
题型05 矩形的判定与性质
【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB∥CD且AC＝BD
【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 此题答案不唯一，∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等 （填一个即可）．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD时，四边形ABCD是矩形．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等．
【变式2】如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
【解答】证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
（1）求证：四边形AEBF是矩形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．
【解答】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE，∠OFB＝∠DBF，
∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠EBC，∠OBF＝∠DBF，
∴∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，
∴EO＝BO，FO＝BO
∴EO＝FO＝BO．
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EO＝BO＝FO＝AO，
∴AB＝EF，
∴四边形AEBF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEBF是矩形，∠AEB＝90°，
又∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠OBE＝∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴AE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴四边形AEBF的面积AE•BE＝3×3＝9．
【变式4】如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 DF＝AB ．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠CAD+∠CAN＝×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：DF＝AB，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，DF＝EF＝DE，
又∵AB＝AC，
∴AB＝DE，
∴DF＝AB．
【变式5】如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ADCE是矩形，
∴∠AC＝90°，DE＝AC＝15，AE∥BD，AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵矩形ADCE的周长是28，
∴AD+CD＝14，
∴（AD+CD）2＝142，
即AD2+CD2+2AD•CD＝142，
∵AD2+CD2＝AC2＝102，
∴AD•CD＝＝48，
∴AD•BD＝48，
∴S平行四边形ABDE＝BD•AD＝48．
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对边平行D．对角相等
【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AB⊥ADD．∠ABO＝∠BAO
【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
3．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为菱形
B．对角线AC的长度不变
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C不符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D符合题意．
故选：D．
4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ）
A．12B．10C．7.5D．5
【解答】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OD＝AD＝7.5，
∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选：C．
5．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．四个角都是是直角
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
【解答】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不合题意；
B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不合题意；
C、矩形的对角线不互相垂直，故C错误，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，故D正确，不合题意；
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC＝8，
∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，
∴BP＝AD＝4，
故选：C．
7．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）
A．10B．8+2C．8+2D．14
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴OE＝CD＝3，AE＝AD＝4，
在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，
根据勾股定理得，BE＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AC＝＝＝10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴BO＝5．
∴△BOE周长为5+3+2＝8+2．
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A．B．9C．D．12
【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
9．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴△ABD，△ABC均为直角三角形，
∵E为AB中点，
∴CE＝AB，
∴CE＝AE＝BE＝DE，
∴∠ACE＝∠BAC，∠DCE＝∠EDC，
∵∠ACD+∠BAC＝70°，
∴∠DCE＝∠EDC＝70°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：C．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确；
当CD＝PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵CD＝PM，GM＝HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∴，
又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，
∴AG＝BM，
即，
解得t＝6，
综上可得，当CD＝PM时，
t＝6或t＝4，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有1个．
故选：A．
11．如图，公路AC与BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，M两点间的距离为 km．
【解答】解：∵公路AC与BC互相垂直，AC的长为6km，BC的长为8km，
∴AB＝＝＝10（km），
∵点M是线段AB的中点，
∴CM＝AB＝5（km）．
故答案为：5．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝，
故答案为：．
13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是 ．
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴点O是BP的中点，
∴BO＝BP＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，
∴MN＝，
∴BO的最小值＝MN＝，
故答案为：．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为 3 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝AD＝×6＝3，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD＝DE＝3，
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝2×3＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝BD＝×6＝3．
故答案为：3．
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 18 ．
【解答】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，
由矩形性质可知，
S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，
∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，
即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，
∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．
∵GP＝AE＝2，PF＝9，
∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．
即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．
故答案为：18．
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
17．课本在线
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证： 四边形ABCD是矩形 ．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝ 180 °．
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴ ∠B+∠C＝180° ．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ）．
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形（ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 ）．
【解答】解：求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°．
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行）．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形（ 有一个角为直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：四边形ABCD是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；∠B+∠C＝180°；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角为直角的平行四边形是矩形．
18．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
19．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点．
（1）求证：FG⊥DE；
（2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度．
【解答】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形，
∵G是ED的中点，
∴FG⊥DE；
（2）解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，BC＝16，
∴EF＝DF＝BC＝BF＝CF＝8，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵G是ED的中点，
∴EG＝DE＝EF＝4，
∴FG＝＝＝4．
20．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）用含有t的代数式表示EF的长．
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，
，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5，
即：当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
课程标准
学习目标
①矩形的定义及其性质
②直角三角形斜边上的中线的性质
③矩形的判定
理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用。
理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。
掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。