山东省济南第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份山东省济南第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}
2．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为（ ）
A．3B．5C．3或5D．无解
3．（5分）不等式的解集为（ ）
A．{x|﹣4≤x≤1}B．{x|x＜﹣4或x≥1}
C．{x|﹣4＜x≤1}D．{x|x≤﹣4或x≥1}
4．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，4]，则的定义域为（ ）
A．[﹣5，5]B．C．（1，5]D．
5．（5分）已知f（+1）＝x+3，则f（x）＝（ ）
A．x2﹣2x+2（x≥0）B．x2﹣2x+4（x≥1）
C．x2﹣2x+4（x≥0）D．x2﹣2x+2（x≥1）
6．（5分）设，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
7．（5分）已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．2D．
8．（5分）已知不等式恒成立，则2m+4n的最小值是（ ）
A．+2B．4C．D．8
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．（6分）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
（多选）10．（6分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为B．的最大值为4
C．x2+y2的最小值为D．的最小值为0
（多选）11．（6分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数f（x）的结论中，正确的是（ ）
A．函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x）
B．函数f（x）的值域是[0，1]
C．对于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1
D．在f（x）图象上不存在不同的三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ．
13．（5分）已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有，则a的取值范围是 ．
14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知幂函数的图像关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值及函数f（x）的解析式；
（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求实数a的取值范围．
17．（15分）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
18．（17分）已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
19．（17分）已知函数f（x）＝﹣4x+m•2x+1，x∈[﹣2，1]．
（1）当m＝1时，求函数f（x）的值域；
（2）设函数，若对任意x1∈[﹣2，1]，存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．
2024-2025学年山东省济南三中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}
【答案】B
【分析】根据题意，利用集合并集的概念与运算，即可求解．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，
则A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
2．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，则实数a的值为（ ）
A．3B．5C．3或5D．无解
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系进行判断．
【解答】解：3∈{1，a，a﹣2}，
当a＝3时，那么：a﹣2＝1，违背集合元素的互异性，不满足题意．
当a﹣2＝3时，a＝5，集合为{1，5，3}满足题意．
∴实数a的值为5．
故选：B．
3．（5分）不等式的解集为（ ）
A．{x|﹣4≤x≤1}B．{x|x＜﹣4或x≥1}
C．{x|﹣4＜x≤1}D．{x|x≤﹣4或x≥1}
【答案】C
【分析】由分式不等式的求解方法计算即可．
【解答】解：原不等式可化为，解得﹣4＜x≤1．
故选：C．
4．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，4]，则的定义域为（ ）
A．[﹣5，5]B．C．（1，5]D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可．
【解答】解：∵y＝f（x）的定义域为[﹣1，4]，
∴，解得：，
∴的定义域为．
故选：B．
5．（5分）已知f（+1）＝x+3，则f（x）＝（ ）
A．x2﹣2x+2（x≥0）B．x2﹣2x+4（x≥1）
C．x2﹣2x+4（x≥0）D．x2﹣2x+2（x≥1）
【答案】B
【分析】采用换元法，令t＝+1≥1，则x＝t2﹣2t+1，再代入f（+1）＝x+3中，化简即可得解．
【解答】解：令t＝+1≥1，则x＝t2﹣2t+1，
∵f（+1）＝x+3，
∴f（t）＝t2﹣2t+1+3＝t2﹣2t+4（t≥1），
即f（x）＝x2﹣2x+4（x≥1）．
故选：B．
6．（5分）设，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】A
【分析】利用指数函数的比较大小即可．
【解答】解：∵在R上单调递增，
∴30.8＞30.7＞30，∴a＞b＞1，
∵y＝0.8x在R上单调递减，
∴0.80.7＜0.80＝1，
∴a＞b＞c．
故选：A．
7．（5分）已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．2D．
【答案】C
【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得m，n的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【解答】解：由x﹣1＝0，解得x＝1，又f（1）＝2，所以函数y＝ax﹣1+1过定点为A（1，2），
代入直线y＝mx+n中，得m+n＝2，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以+的最小值为2．
故选：C．
8．（5分）已知不等式恒成立，则2m+4n的最小值是（ ）
A．+2B．4C．D．8
【答案】D
【分析】由不等式恒成立，可得mn≥2（m＞0，n＞0），利用基本不等式可求得2m+4n的最小值．
【解答】解：∵恒成立，
∴，
解得mn≥2（m＞0，n＞0），
∴2mn≥4（m＞0，n＞0），≥2（m＞0，n＞0），
∴2m+4n＝2m+22n≥2≥2≥2＝8（当且仅当m＝2n＝2，即m＝2，n＝1时取等号）．
即2m+4n的最小值是8．
故选：D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．（6分）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
【答案】BD
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：A．不一定成立；
B．由ac2＞bc2，则c2＞0，可得：a＞b．
C．不一定成立，例如a＝2，b＝﹣1．
D．a＞b，c＞d，即﹣d＞﹣c，则a﹣d＞b﹣c，成立．
故选：BD．
（多选）10．（6分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为B．的最大值为4
C．x2+y2的最小值为D．的最小值为0
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解．
【解答】解：对于A，因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，
即，时取等号，故B错误；
对于C，因为2（x2+y2）＝x2+y2+x2+y2≥x2+y2+2xy＝（x+y）2＝1，
对℃，因为2（x2+y2）＝x2+y2+x2+y2≥x2+y2+2xy＝（x+y）2＝1，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由x＞0，y＞0，且x+y＝1，可知0＜y＜1，x＝1﹣y，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数f（x）的结论中，正确的是（ ）
A．函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x）
B．函数f（x）的值域是[0，1]
C．对于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1
D．在f（x）图象上不存在不同的三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形
【答案】AC
【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的三要素、函数的奇偶性，对选项A、B、C三项依次分析，可得这三项的正误；然后通过取特殊点进行说明，判断出D项的正误，可得答案．
【解答】解：对于选项A，根据狄利克雷函数的解析式，
若x∈Q，则﹣x∈Q，可得f（﹣x）＝1＝f（x）；若x∈∁RQ，则﹣x∈∁RQ，可得f（﹣x）＝0＝f（x）．
综上所述，对于任意x∈R，总有f（﹣x）＝f（x）成立，故A项正确，
对于选项B，f（x）的函数值只可能是0或1，
所以f（x）的值域为{0，1}，而不是[0，1]，故B项错误，
对于选项C，若x∈Q，则f（x）＝1，可得f（f（x））＝f（1）＝1，
若x∈∁RQ，则f（x）＝0，可得f（f（x））＝f（0）＝1，故C项正确，
对于选项D，取，
此时，可知△ABC为等边三角形．
所以f（x）图象上存在不同的三点A、B、C，使得△ABC为等边三角形，故D项不正确．
故选：AC．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全集U和∁UA，容易求出集合A，再根据已知集合A的等式判断出m的值
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}
∴A＝{0，3}
而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，
∴0，3为x2+mx＝0的两个根
解得m＝﹣3
故答案为﹣3
13．（5分）已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有，则a的取值范围是 [，） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为减函数，进而可得关于a的不等式组，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）满足对任意的实数x1≠x2都有，
则函数f（x）R上为减函数，
则有，
解可得≤a＜，
即a的取值范围为[，）；
故答案为：[，）．
14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，则实数a的取值范围是 [4，+∞） ．
【答案】[4，+∞）．
【分析】把关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在x∈（1，4]上有解，再求，x∈（1，4]的最小值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，
转化为，在x∈（1，4]上有解，
令，x∈（1，4]，
转化为求，x∈（1，4]上的最小值，
则，
当且仅当，即x＝3时等号成立，
故x＝3时，tmin＝4，
因此要使不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，
则a≥4．
故答案为：[4，+∞）．
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|﹣1≤x≤1 或4≤x≤5}；（2）a＜1．详解见解析．
【分析】可利用集合间的关系进行求解．
【解答】解：（1）当a＝3时，A＝{x|﹣1≤x≤5}，
所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤1 或4≤x≤5}，
（2）由题可知，∁RB＝{x|1＜x＜4}，
因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，
所以A⫋∁RB，
可得2﹣a＞2+a，或，解得a＜1．
16．（15分）已知幂函数的图像关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值及函数f（x）的解析式；
（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝2，f（x）＝x2；
（2）．
【分析】（1）由幂函数的单调性求得0＜m＜4，由m∈Z，通过检验即可求解；
（2）由已知得|a﹣2|＜|1+2a|，两边平方，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递增知，，解得0＜m＜4，
又m∈Z，则m＝1，2，3．
当m＝1或m＝3时，，不符合f（x）的图像关于y轴对称，故舍去．
当m＝2时，f（x）＝x2，图像关于y轴对称，符合题意．
综上所述，f（x）＝x2．
（2）由（1）得f（x）＝x2为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，
因为f（a﹣2）＜f（1+2a），所以|a﹣2|＜|1+2a|，
两边平方，得a2﹣4a+4＜4a2+4a+1，
化简得3a2+8a﹣3＞0，解得a＜﹣3或，
故实数a的取值范围为．
17．（15分）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【答案】（1）．（2）见解答过程．（3）．
【分析】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1）＝，求出b和a的值，可得函数的解析式．
（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．
（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．
【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则，解可得b＝0．
又由f（1）＝，则有，解可得a＝2，故．
（2）由（1）的结论，，设﹣3＜x1＜x2＜3，
则 ＝，
再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，，
故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．
（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数，且在（﹣3，3）上为增函数，
关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
可得，解可得：，
即不等式的解集为．
18．（17分）已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
（2）不等式化为（ax﹣1）（x﹣4）＞0，讨论a的取值，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），
不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，
由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，
所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，
所以，
解得a＝﹣1，b＝6；
（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；
②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；
③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；
若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；
若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；
综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；
a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；
0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；
a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；
a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．
19．（17分）已知函数f（x）＝﹣4x+m•2x+1，x∈[﹣2，1]．
（1）当m＝1时，求函数f（x）的值域；
（2）设函数，若对任意x1∈[﹣2，1]，存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．
【答案】（1）[﹣1，]；
（2）[，+∞）．
【分析】（1）将m＝1代入，利用换元法求解即可；
（2）由题意可得f（x）min≥g（x）min＝﹣，利用换元法求出函数f（x）在[﹣2，1]上的最小值，代入求解即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝﹣4x+2x+1，x＝[﹣2，1]，
令2x＝t，
因为x∈[﹣2，1]，则t∈[，2]，
所以y＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+，其中t∈[，2]，
所以当时，ymax＝；
当t＝2时，ymin＝﹣1，
即，
所以f（x）的值域为[﹣1，]；
（2）因为，x∈[﹣1，2]，
设μ＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
则μ在[﹣1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，
由复合函数单调性得g（x）在[﹣1，1]单调递减，在[1，2]单调递增，
故g（x）min＝g（1）＝﹣，
因为对任意x1∈[﹣2，1]，存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，
则f（x）min≥g（x）min＝﹣，
所以﹣4x+m•2x+1≥﹣在x∈[﹣2，1]上恒成立，
令2x＝s，
因为x∈[﹣2，1]，则s∈[，2]，
即y＝﹣s2+ms+≥0在 上恒成立，
则m≥s﹣在s∈ 上恒成立，
而y＝s﹣在s∈ 上单调递增，
故（s﹣）max＝2﹣＝，
所以m≥，
即m∈[，+∞）．