安徽省宿州市泗县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份安徽省宿州市泗县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+x+y＝0C．D．
2．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a的值为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．4D．8
4．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．324×105B．32.4×106C．3.24×107D．0.32×108
5．（4分）若，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．D．
6．（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AC⊥BDC．CD＝BCD．AC＝BD
7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，AB⊥AC，．B，C，D在同一条直线上，AD＝BC，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2B．4.5C．8D．7
10．（4分）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，﹣3，1，因为，，所以1，﹣3，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①3，1，﹣4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为；
④调整﹣2，﹣4，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺为1：60000的地图上，甲乙两地的距离为10cm，那么两地的实际距离为 千米．
12．（5分）已知a≠b，a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，求a+b＝ ．
13．（5分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm．（结果保留根号）
14．（5分）Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
（1）如图1，若DE⊥BC与E，DF⊥AC于F，DE＝3，DF＝4，则AB＝ ；
（2）如图2，若点P是CD的中点，且CP＝，则PA2+PB2＝ ．
三、解答题（每小题8分，共16分）
15．（8分）解方程：x2﹣6x﹣27＝0．
16．（8分）如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
（1）请在方格图中画出位似中心O；
（2）请在方格图中将△A′B′C′补画完整．
四、（每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0．
（1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若x1﹣x2＝2，求m的值．
18．（8分）如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠EDF＝50°，求∠BEF的度数．
五、（每小题10分，共20分）
19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
（1）第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
20．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE．
（1）求证：△ACD∽△AEB．
（2）当，求的值．
六、（本题12分）
21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB．
七、（本题12分）
22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了 名九年级学生，a＝ ；
（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中按1：9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
八、（本题14分）
23．（14分）【问题背景】
在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF＝CE，连接DF，延长BE交DF于点G．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，
①求证：△BCE∽DGE；
②当G时DF中点时，∠F＝ 度．
【深入研究】
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB＝4，当G为DF中点时，求CE的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，点H在BE的延长线上且满足BE＝6EH，当△EFH是直角三角形时，请直接写出CE的长．
2024-2025学年安徽省宿州市泗县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+x+y＝0C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
【解答】解：A．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项A符合题意；
B．∵方程x2+x+y＝0含有两个未知数，
∴方程x2+x+y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．∵方程x++1＝0不是整式方向，
∴方程x++1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程x2﹣＝0不是整式方向，
∴方程x2﹣＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
2．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【答案】A
【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
C、四边相等的四边形是菱形，是真命题；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选：A．
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a的值为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．4D．8
【答案】B
【分析】对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方．
【解答】解：移项得，x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝﹣10+16，
（x﹣4）2＝6，
∴a＝﹣4．
故选：B．
4．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．324×105B．32.4×106C．3.24×107D．0.32×108
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：32400000＝3.24×107元．
故选：C．
5．（4分）若，则的值是（ ）
A．B．﹣1C．D．
【答案】A
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设x＝2k，则y＝3k，
∴＝＝＝，
故选：A．
6．（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AC⊥BDC．CD＝BCD．AC＝BD
【答案】D
【分析】应添加的条件为AC＝BD，理由为：根据E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理及AC＝BD，等量代换得到四条边相等，确定出四边形EFGH为菱形，得证．
【解答】解：应添加的条件是AC＝BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD，
∴EH＝BD，FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
∴EH＝HG＝GF＝EF，
则四边形EFGH为菱形，
故选：D．
7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故选：D．
8．（4分）如图，AB⊥AC，．B，C，D在同一条直线上，AD＝BC，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，证明△ABC是等腰直角三角形，得BC＝AB＝2，AE＝BE＝CE＝BC＝1，然后与勾股定理求出DE，进而利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB⊥AC，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴AE＝BE＝CE＝BC＝1，
∵AD＝BC＝2，
∴DE＝＝＝，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣1，
故选：A．
9．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2B．4.5C．8D．7
【答案】A
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即有S△PCQ＝S△ABC．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
10．（4分）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，﹣3，1，因为，，所以1，﹣3，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①3，1，﹣4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为；
④调整﹣2，﹣4，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①按照求“极数”的方法计算即可得3，1，﹣4的“极数”是36，故①正确；
②由x，y，0的“极数“为0得≤0，由x+y≠0，得xy≤0，则x和y中至少有1个数是负数，故②正确；
③在m，﹣6，2中，把三个值表示出来，再讨论和分别等于时的情况即可，故③不正确；
④按循序讨论﹣2，﹣4，1的六种情况，当讨论前四种是，已经出现三种情况的“极数“相同，故④说法错误．
【解答】解：①∵＝，，，
∴3，1，﹣4的“极数”是36，
故①正确；
②∵x，y，0的“极数“为0，
∴≤0，
∵x+y≠0，
∴xy≤0，
则x和y中至少有1个数是负数，
故②正确；
③在m，﹣6，2中，
＝，＝﹣6，，
∵m，﹣6，2的“极数“为，
∴当＝时，
m＝1，
此时＝2，
不成立．
当＝时，
m＝，
此时＝，
∴当m＝时，m，﹣6，2的“极数”为；
故③不正确；
④在﹣2，﹣4，1中，
＝，＝，＝6，
∴“极数“为6．
在﹣2，1，﹣4中，
＝2，＝，＝4，
∴“极数“为4．
在﹣4，﹣2，1中，
＝，＝﹣4，＝4，
∴“极数“为4．
在﹣4，1，﹣2中，
＝，＝4，＝﹣4，
∴“极数“为4．
调整﹣2，﹣4，1这三个数的位置，
一共有6种情况，
而前面四种，已经出现三种情况的“极数“相同，
故得不到6种不同的“极数“，
故④说法错误．
故正确个数为2个，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺为1：60000的地图上，甲乙两地的距离为10cm，那么两地的实际距离为 6 千米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离列式求得实际距离，即可解答．
【解答】解：∵10÷＝600000（cm），
又∵600000cm＝6km，
∴实际距离为6km．
故答案为：6．
12．（5分）已知a≠b，a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，求a+b＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知得出a和b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个解，根据根与系数的关系得出即可．
【解答】解：∵a≠b，a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
∴a和b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个解，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣＝2，
故答案为：2．
13．（5分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （80﹣160） cm．（结果保留根号）
【答案】（80﹣160）．
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，
故答案为：（80﹣160）．
14．（5分）Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
（1）如图1，若DE⊥BC与E，DF⊥AC于F，DE＝3，DF＝4，则AB＝ 10 ；
（2）如图2，若点P是CD的中点，且CP＝，则PA2+PB2＝ 62.5 ．
【答案】（1）10：（2）62.5．
【分析】（1）首先证明四边形DECF为矩形，得DE＝CF＝3，在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD＝5，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
（2）过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，说明BG＝BE+EG＝3EG＝3CG＝3PH，同理可得AH＝3PG，再利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEF＝∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE＝CF＝3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD＝5，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
故答案为：10；
（2）如图，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，
∴PG＝CH，CG＝PH，
∵点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD＝BD，
∴BE＝CE，
∵点P为CD的中点，DE⊥BC，PG⊥BC，
∴点G为CE的中点，即CE＝2EG＝2CG，
∴BE＝CE＝2EG，
∴BG＝BE+EG＝3EG＝3CG＝3PH，
同理可得AH＝3PG，
∴PA2+PB2＝BG2+PG2+AH2+PH2＝（3PH）2+PG2+（3PG）2+PH2＝10×＝62.5，
故答案为：62.5．
三、解答题（每小题8分，共16分）
15．（8分）解方程：x2﹣6x﹣27＝0．
【答案】x1＝9，x2＝﹣3．
【分析】利用因式分解法解方程即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x﹣27＝0,
（x﹣9）（x+3）＝0，
故x﹣9＝0或x+3＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣3．
16．（8分）如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
（1）请在方格图中画出位似中心O；
（2）请在方格图中将△A′B′C′补画完整．
【答案】（1）（2）见解析．
【分析】（1）对应点连线的交点即为位似中心；
（2）利用位似变换的性质画出图形．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）如图，△A′B′C′即为所求．
四、（每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0．
（1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若x1﹣x2＝2，求m的值．
【答案】（1）见解析；
（2）m＝5或m＝﹣1．
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式Δ＝（m﹣2）2+1＞0，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：
∴＝m2﹣6m+9﹣4+2m＝m2﹣4m+5＝（m﹣2）2+1＞0．
∴不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，
∴，x1x2＝2（﹣m+2）＝4﹣2m，
∵，
∴，
即，
∴（6﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝40，
解得：m＝5或m＝﹣1．
18．（8分）如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠EDF＝50°，求∠BEF的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在直角△ADE和直角△CDF中，AD＝CD，再证明Rt△ADE≌Rt△CDF；
（2）根据△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ADE和△CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，
又∵∠DFC＝∠DEA＝90°，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF；
（2）解：由△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，
∴∠DEF＝＝65°，
∴∠BEF＝90°﹣65°＝25°．
五、（每小题10分，共20分）
19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
（1）第n个图有 （n2+n+4） 个小圆；（用含n的代数式表示）
（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（n2+n+4）；（2）第12个图中小圆的个数恰好为160个．
【分析】1）第1个图形中小圆的个数为4+1×2＝6；第2个图形中小圆的个数为4+2×3＝10；第3个图形中小圆的个数为4+3×4＝16；…；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4；
（2）假设存在第x个图的小圆个数为160，列方程为x2+x+4＝160，再解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知第1个图形有小圆4+1×2＝6个；
第2个图形有小圆4+2×3＝10个；
第3个图形有小圆4+3×4＝16个；
第4个图形有小圆4+4×5＝24个；
∴第n个图形有小圆4+n×（n+1）＝n2+n+4个，
故答案为：（n2+n+4）．
（2）设第x个图中小圆的个数恰好为160个，根据题意得
x2+x+4＝160
x2+x﹣156＝0
（x﹣12）（x+13）＝0
x1＝12，x2＝﹣13（不符题意，舍去）
答：第12个图中小圆的个数恰好为160个．
20．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE．
（1）求证：△ACD∽△AEB．
（2）当，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）首先利用作图证明CD＝CB，然后利用等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由此即可证明结论；
（2）首先利用相似三角形的在可以得到＝＝，然后利用已知条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴△ACD∽△AEB；
（2）解：∵△ACD∽△AEB，
∴＝＝
而，
∴＝，
∴＝．
六、（本题12分）
21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得：∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m，
∴，
∴BC＝14m，
∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m），
答：树高AB为15.6m．
七、（本题12分）
22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了 300 名九年级学生，a＝ 108 ；
（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中按1：9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
【答案】（1）300，108；
（2）该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3600人；
（3）．
【分析】（1）先由A组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用D组人数所占百分比乘以360°即可得出a的值；
（2）先求出E组人数所占的比例，再乘以24000即可得解；
（3）先求出E组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率．
【解答】解：（1）本次抽测了（名）九年级学生，
，
故答案为：300；108；
（2）E组人数所占的比例为：，
（人），
故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3600人；
（3）E组人数为（人），
由题意可知：抽取的优秀学生人数为（人），
∵其中恰好有2名女生，
∴E组的男生人数为：5﹣2＝3（人），
如下：
由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
八、（本题14分）
23．（14分）【问题背景】
在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF＝CE，连接DF，延长BE交DF于点G．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，
①求证：△BCE∽DGE；
②当G时DF中点时，∠F＝ 67.5 度．
【深入研究】
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB＝4，当G为DF中点时，求CE的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，点H在BE的延长线上且满足BE＝6EH，当△EFH是直角三角形时，请直接写出CE的长．
【答案】（1）①证明见解答；
②67.5；
（2）CE的长为4；
（3）CE的长为或或．
【分析】（1）①根据正方形的性质可证△BCE≌△DCF（SAS），得∠CBE＝∠CDF，结合对顶角相等即可求证；
②如图所示，连接BD，根据正方形的性质可得∠DBC＝45°，根据①中三角形全等，G是DF中点，可得BG是DF的垂直平分线，可得∠ECB＝22.5°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）如图所示，过点G作GM∥CF，交CD于点M，且当G为DF中点，可证△DMG∽△DCF，得GM是中位线，再正△MGE∽△CBE，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当∠H＝90°，△EFH是直角三角形，设CE＝CF＝a，则BF＝BC+CF＝4+a，运用勾股定理可得BE，BH的值，再证△BCE∽△BHF，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，∠EFH＝90°，△EFH是直角三角形，过点H作HN⊥BC延长线于点N，可得△HNF是等腰直角三角形，可得CN＝CF+FN＝CE+NH，再证△BCE∽△BNH，根据BE＝6EH，可求出BN的值，由此可得CN的值，由此即可求解．
【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
①证明：∵∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝90°＝∠BCD，且BC＝DC，CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠BEC＝∠DEG，
∴△BCE∽△DGE；
②解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CBE＝∠CDF，∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠GED，
∴∠GED+∠GDE＝90°，
则∠EGD＝90°，
即BE⊥DF，
∵点G是DF的中点，
∴DG＝FG，
∴BG是DF的垂直平分线，
∴BD＝BF，
即△BDF是等腰三角形，
∴BG平分∠DBF，
即，
在Rt△BFG中，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故答案为：67.5；
（2）解：∵四边形ABCD菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
如图，过点G作GM∥CF，交CD于点M，且当G为DF中点，
∵GM∥CF，
∴△DMG∽△DCF，
∴，
∴点M是CD中点，
则，
∴GM是△CDF的中位线，
∴，
设CF＝CE＝x，则，ME＝MC﹣CE＝2﹣x，
∵MG∥BC，
∴△MGE∽△CBE，
∴，
即，
整理得x2+8x﹣16＝0，
解得x1＝﹣4﹣4（不符合题意，舍去），x2＝4﹣4，
∴CE的长为4﹣4；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴CE（BC，∠BEC）∠CBE，
∴∠BEC＞45°，
∴∠FEH＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＜90°，
第一种情况，如图，当∠H＝90°，△EFH是直角三角形，
设CE＝CF＝a，则BF＝BC+CF＝4+a，
在Rt△BCE中，，
∵BE＝6EH，
∴，
则，
∵∠EBC+∠BEC＝∠EBC+∠F＝90°，
∴∠BEC＝∠F，且∠BCE＝∠H＝90°，
∴△BCE∽△BHF，
∴，
即，
整理得7a2﹣24a+16＝0，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母有意义，
∴或；
第二种情况，如图，∠EFH＝90°，△EFH是直角三角形，过点H作HN⊥BC延长线于点N，
∴HN∥CE，
∵CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∠CFE+∠EFH+∠HFN＝180°，
∴∠HFN＝180°﹣∠CFE﹣∠EFH＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠NHF＝90°﹣∠HFN＝90°﹣45°＝45°，
∴△HFN等腰三角形，则NF＝NH，
∵CE∥HN，
∴△BCE∽△BNH，
∴，
∵BE＝6EH，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或CE＝．