第26章 二次函数 华东师大版九年级下册数学整合提升试卷(含答案)

专训1　二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题． 二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题) 二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题) 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝eq \f(2,3)x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，则菱形An－1BnAnCn的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第4题)专训2　探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题． 探索与相似有关的存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx－2经过A(4，0)，B(1，0)两点．(1)求出抛物线对应的函数表达式；(2)若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题) 探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标．(2)求经过A、O、B三点的抛物线对应的函数表达式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题) 探索与面积有关的存在性问题3．阅读材料：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝eq \f(1,2)ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图②，抛物线顶点为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB对应的函数表达式．(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB.(3)抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝eq \f(9,8)S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)4.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式．(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(第4题) 探索与平行四边形有关的存在性问题5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(第5题)6．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点 F，设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．(第6题)7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC对应的函数表达式．(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．(第7题)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　专训3　几种常见的热门考点名师点金：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力． 二次函数的图象与性质1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(　　)A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点2．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是(　　)A．(－3，－6)　　　　　　B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)3．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4(第3题)　　　(第5题)4．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________． 用待定系数法求二次函数的表达式6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数表达式为(　　)A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋27．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________________．8．(中考·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为______℃.9．将抛物线y＝－x2＋x－3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式．10．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线的表达式．(第10题) 二次函数与一元二次方程或不等式的关系11．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是(　　)A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．012．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是(　　)A.x＜0或x＞2　　　　　B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜313．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是(　　)(第13题)A．a－b＋c＝0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＞0D．当x＜1时，y随x的增大而减小14．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.　(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式． 二次函数的实际应用15．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大． 二次函数的综合应用16．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标．(2)求抛物线的表达式．(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第17题)答案eq \a\vs4\al(专训1)(第1题)1．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.又∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD.又∵AB＝AC，∠AOB＝∠CDA＝90°，∴△AOB≌△CDA(AAS)，∴AO＝CD＝1，BO＝AD＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx－2上，∴1＝eq \f(1,2)×32＋3b－2，解得b＝－eq \f(1,2).∴抛物线对应的函数表达式为y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x－2.2．解：(1)根据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)．∵A点在抛物线上，∴c＝－2.∵12a＋5c＝0，∴a＝eq \f(5,6).由AB＝2知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－eq \f(b,2a)＝1.∴b＝－eq \f(5,3).∴抛物线对应的函数表达式为y＝eq \f(5,6)x2－eq \f(5,3)x－2.(2)①由题意知：PB＝(2－2t) cm，BQ＝t cm，∴S＝PQ2＝PB2＋BQ2＝(2－2t)2＋t2，即S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)．②假设存在点R，可构成以P，B，R，Q为顶点的平行四边形．∵S＝5t2－8t＋4＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(4,5)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4,5)(0≤t≤1)，∴当t＝eq \f(4,5)时，S取得最小值eq \f(4,5)，这时PB＝0.4 cm，BQ＝0.8 cm，易知P(1.6，－2)，Q(2，－1.2)．分情况讨论：(ⅰ)若R在BQ的右边，这时QR綊PB，则点R的横坐标为2.4，纵坐标为－1.2，即R(2.4，－1.2)．将x＝2.4代入y＝eq \f(5,6)x2－eq \f(5,3)x－2，得y＝－1.2，∴点R在抛物线上，即这时存在R(2.4，－1.2)满足题意．(ⅱ)若R在BQ的左边，PB的上方，这时PR綊QB，则点R的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，即R(1.6，－1.2)．易验证点R不在抛物线y＝eq \f(5,6)x2－eq \f(5,3)x－2上．(ⅲ)若R在BQ的左边，PB的下方，这时PR綊QB，则R(1.6，－2.8)．易验证点R不在抛物线y＝eq \f(5,6)x2－eq \f(5,3)x－2上．综上所述，存在点R(2.4，－1.2)满足题意．3．4n4．解：(1)如图①，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF全等．(第4题)(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．证明：如图②，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图②，过点F作FH⊥x轴于点H.易知FH＝BE＝CH.设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，∴a＝eq \r(2)或－eq \r(2)(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝eq \r(2)－1.∴点F的坐标为(eq \r(2)，eq \r(2)－1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　eq \a\vs4\al(专训2)1．解：(1)将A(4，0)，B(1，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx－2得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b－2＝0，,a＋b－2＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2).))∴此抛物线对应的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x－2.(2)存在．设点P的横坐标为m，则P点的纵坐标为－eq \f(1,2)m2＋eq \f(5,2)m－2，AM＝4－m，PM＝－eq \f(1,2)m2＋eq \f(5,2)m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当eq \f(AM,PM)＝eq \f(AO,OC)＝eq \f(2,1)时，△APM∽△ACO.　即4－m＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m2＋\f(5,2)m－2))，解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当eq \f(AM,PM)＝eq \f(OC,OA)＝eq \f(1,2)时，△APM∽△CAO.　即2(4－m)＝－eq \f(1,2)m2＋eq \f(5,2)m－2.解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)．∴符合条件的点P的坐标为P(2，1)．(第2题)2．解：(1)过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝eq \r(3).∴点B的坐标为(1，eq \r(3))．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x＋2)，将点B(1，eq \r(3))的坐标代入，得a＝eq \f(\r(3),3)，因此所求抛物线对应的函数表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x.(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝\r(3)，,－2k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)，,b＝\f(2\r(3),3)，))∴y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).当x＝－1时，y＝eq \f(\r(3),3)，因此点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),3))).3．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为：y1＝a(x－1)2＋4，把A(3，0)的坐标代入求得a＝－1.所以y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.设直线AB对应的函数表达式为：y2＝kx＋b，由y1＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入y2＝kx＋b中解得：k＝－1，b＝3，所以y2＝－x＋3.(2)因为C点坐标为(1，4)，所以当x＝1时，y1＝4，y2＝2.所以CD＝4－2＝2，S△CAB＝eq \f(1,2)×3×2＝3.(3)存在．设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，若P在直线AB上方，则h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x.由S△PAB＝eq \f(9,8)S△CAB得：eq \f(1,2)×3×(－x2＋3x)＝eq \f(9,8)×3.化简得：4x2－12x＋9＝0，解得x＝eq \f(3,2).将x＝eq \f(3,2)代入y1＝－x2＋2x＋3中，解得y1＝eq \f(15,4).所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4))).若P在直线AB下方，则h＝y2－y1＝x2－3x.由S△PAB＝eq \f(9,8)S△CAB得：eq \f(1,2)×3×(x2－3x)＝eq \f(9,8)×3.化简得：4x2－12x－9＝0，解得x＝eq \f(3±3\r(2),2).易求得P点坐标为(eq \f(3＋3\r(2),2)，eq \f(－3－6\r(2),4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－3\r(2),2)，\f(－3＋6\r(2),4))).综上，符合条件的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,4)))或(eq \f(3＋3\r(2),2)，eq \f(－3－6\r(2),4))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－3\r(2),2)，\f(－3＋6\r(2),4))).4．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝1＋b＋c，,2＝c.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2.))∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋2.(2)当x＝3时，由y＝x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)，∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋1.(3)存在．假设存在点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋1上，可设N点坐标为(x0，x02－3x0＋1)．由(2)知，BB1＝DD1＝1.将y＝x2－3x＋1配方得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，∴抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(3,2).当x0