第27章 圆 初中数学九年级下册华师版单元测试卷(含答案)

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第27章　圆时间:90分钟　满分:100分一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2020·江苏扬州江都区期中)已知☉O的面积为9π cm2,若圆心O到某直线的距离为 3 cm,则该直线与☉O的位置关系是 (　　)A.相切 B.相交 C.相离 D.无2.利用尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a,小黄的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是 (　　)A.勾股定理 B.90°的圆周角所对的弦是直径C.勾股定理的逆定理 D.直径所对的圆周角是直角3.如图,△ABC的外心的坐标是 (　　)A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-1,-1) D.无法确定4.如图,PA,PB是☉O的切线,AC是☉O的直径.若∠P=62°,则∠BOC的度数为(　　)A.60° B.62° C.31° D.70°5.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,点D对应54°,则∠BCD的度数为 (　　)A.27° B.54° C.63° D.36°6.(2020·吉林长春模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,分别以点A,B为圆心,AD,BC长为半径画弧,交AB于点E,交CD于点F,则图中阴影部分的周长之和为 (　　)A.2+π B.4+π C.4+2π D.4+4π7.(2021·湖北十堰期中)如图,在半径为5的☉O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为点P,且AB=CD=4,那么OP的长为 (　　)A.1 B.2 C.2 D.228.(2021·山东临沂期中)如图,半径为r的☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于点E,连接AB,AD.若AD=2,则半径r的长为 (　　)A.22 B.2 C.1 D.129.等边三角形的内切圆与外接圆的半径之比为 (　　)A.1∶2 B.3∶3 C.3∶2 D.3∶110.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在BC上,以点O为圆心,OC长为半径的☉O与AB相切于点E,交OB于点D.若BD=1,tan∠AOC=2,则☉O的面积是(　　)A.π B.2π C.169π D.94π二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.如图,AB是☉O的直径,D是AB延长线上一点,DC切☉O于点C,连接AC,OC,若∠CAB=30°,则∠D=　　　　　. 12.如图,D(0,3),O(0,0),C(4,0),点B在☉A上,BD是☉A的一条弦.则sin∠OBD=　　　　. 13.(2020·安徽二模)如图,Rt△AOB的斜边AB切☉O于点C,OA交☉O于点D,连接DC并延长交OB的延长线于点E.已知∠A=∠E,若OE=4,AB=163,则BC的长为　　　　. 14.已知在平面直角坐标系内,以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,如果☉P与坐标轴恰好有三个交点,那么r的值是　　　　　　. 15.如图,在半径为1的扇形ACB中,∠ACB=90°,以BC为直径作半圆,交AB于点D,连接CD,则图中阴影部分的面积是　　　　. 16.如图,MN是☉O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.连接AB,AP,BP,若MN=22,AB=3-1,则△PAB的周长的最小值是　　　　. 三\解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2021·四川成都武侯区一模)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现代语言表述为:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,求直径AB的长.请你解答这个问题.18.(8分)(2020·浙江温州模拟)如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在☉O上,∠M=∠D.(1)判断BC与MD的位置关系,并说明理由;(2)若AE=16,BE=4,求线段CD的长.19.(8分)(2020·江苏淮安淮阴区期末)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的☉O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积.(结果保留π)20.(9分)如图,☉O的半径为4 cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t s.(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;(2)填空:①当t=　　　　时,四边形PBQE为菱形; ②当t=　　　　时,四边形PBQE为矩形. 21.(9分)如图,已知直线l与☉O相离,OA⊥l于点A,交☉O于点P,点B是☉O 上一点,连接BP并延长,交直线l于点C,恰有AB=AC.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若PC=25,OA=5,求☉O的半径.22.(12分)[新风向·探究性试题]【问题呈现】　阿基米德折弦定理:如图(1),AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是ABC的中点,则从点M向BC作垂线,垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.　　 图(1)　　　　图(2)　　　　图(3)　　　　图(4)证明:如图(2),在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC,MG.∵M是ABC的中点,∴MA=MC.……请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.【实践应用】(1)如图(3),已知△ABC内接于☉O,BC>AB>AC,D是ACB的中点,请你依据阿基米德折弦定理直接写出图中某三条线段之间的数量关系;(2)如图(4),已知等腰三角形ABC内接于☉O,AB=AC,D为AB上一点,连接DB,DC,∠ACD=45°,AE⊥CD于点E,△BDC的周长为42+2,BC=2,求AC的长.第27章　圆·B卷1.A　由题意,得☉O的半径r=3 cm,且圆心O到直线的距离为3 cm.故选A.2.D　根据作图方法可知,点C在以AB为直径的圆上,从而得出∠ACB=90°,也就得到了直角三角形,故选D.3.A图示速解分别作边BC,AC的垂直平分线,相交于点P,则点P是△ABC的外心,由图可知P(-2,-1),故选A.【技巧点拨】本题主要考查了三角形外心的确定方法.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.在网格中确定点的坐标要借助已知线段的特殊位置来求解.4.B　∵PA,PB是☉O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠P=62°,∴∠AOB=360°-90°-90°-62°=118°,∴∠BOC=180°-118°=62°.故选B.5.C　∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,∴点A,B,C,D都在以AB为直径的圆上.设此圆圆心为点O,连接OD.∵点D对应54°,即∠AOD=54°,∴∠ACD=12∠AOD=27°,∴∠BCD=90°-∠ACD=63°.故选C.6.C　设∠A=n°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=180°-n°,BC=AD=2.由题意得,AE=AD=2,BE=BC=2,∴图中阴影部分的周长之和=DE的长+EC的长+CD=nπ×2180+(180-n)π×2180+4=2π+4.故选C.7.B　如图,过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,则AE=BE=12AB=2,DF=CF=12CD=2.∵AB⊥CD,∴四边形OEPF是矩形.连接OD,OB.在Rt△OBE中,OE=OB2-BE2=(5)2-22=1.同理可得OF=1,∴OE=OF,∴四边形OEPF为正方形,∴OP=12+12=2.故选B.8.C　∵AC=BD,∴AC=BD,∴BC=AD,∴∠BAC=∠ABD,∴AE=BE.如图,连接OA,OD,∵AC⊥BD,AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=45°,∴∠AOD=2∠ABE=90°.∵OA=OD=r,∴AD=2r.∵AD=2,∴r=1.故选C.9.A　如图,△ABC是等边三角形,AD是边BC上的高,点O是其外接圆的圆心.由等边三角形的性质可得点O在AD上,并且点O是△ABC内切圆的圆心,OD为其内切圆的半径.∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,∴OD∶OB=1∶2.故选A.10.D　连接OE,设☉O的半径为r,则DC=2r,BC=2r+1.∵∠ACB=90°,tan∠AOC=2,∴AC=2r.∵☉O与AB相切于点E,∴OE⊥AB.又∠ACB=90°,∠B=∠B,∴△ABC∽△OBE,∴BCAC=BEOE,即1+2r2r=BEr,∴BE=1+2r2.在Rt△OBE中,由勾股定理,得(1+2r2)2+r2=(1+r)2,解得r1=32,r2=-12(舍去),∴☉O的面积为94π.故选D.11.30°　【解析】∵DC切☉O于点C,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°,∴∠D=90°-∠COD=90°-60°=30°.12.35　【解析】连接CD, ∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∴CD=5.∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35.13.43　【解析】如图,连接OC.∵AB是☉O的切线,∴OC⊥AB,∴∠ACO=90°.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∴∠ACO=∠EOD.又∠A=∠E,CO=OD,∴△AOC≌△EDO,∴AC=OE=4,∴BC=AB-AC=43.14.2或5图示速解∵以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个交点,∴☉P与x轴相切[如图(1)]或☉P过原点[如图(2)].当☉P与x轴相切时,r=2;当☉P过原点时,r=OP=12+22=5,所以r=2或5. 图(1)　　　　　　　图(2)数学思想本题以平面直角坐标系为载体,主要考查了直线与圆的位置关系,解答的关键是正确分析圆心与坐标轴的位置特点,分两种情况进行讨论,渗透了分类讨论思想.15.π4-14　【解析】根据题意,得AC=BC,∠CAB=∠ABC=45°.∵BC是直径,∴CD⊥AB,∴△ADC是等腰直角三角形.在Rt△ABC中,AB=12+12=2,∴AD=BD=22,∴S阴影=S扇形ACB-S△ACD=90π×12360-12×22×22=π4-14.16.3+1　【解析】如图,作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,连接OA',OA,OB,PA.∵点A与点A'关于MN对称,∴PA=PA'.∵点A是半圆上的三等分点,∴∠A'ON=∠AON=60°.∵点B是劣弧AN的中点,∴∠BON=30°,∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.又OB=OA'=2,∴A'B=2,∴PA+PB=PA'+PB=A'B=2.∵AB=3-1,∴△PAB的周长的最小值是2+3-1=3+1.17.【解题思路】连接OC,由CD⊥AB,可求得DE的长,利用勾股定理列方程求出半径的长,从而求出直径AB的长.【参考答案】如图,连接OC. (1分)∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=10寸,∴CE=DE=12CD=5寸. (3分)设OC=OA=x寸,则OE=(x-1)寸.由勾股定理,得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸,故直径AB的长为26寸. (6分)18.【解题思路】(1)根据在同圆中,同弧所对的圆周角相等,即可判断出BC,MD的位置关系;(2)先求出AB和OE的长,连接OC,构造直角三角形,根据勾股定理可以求得CE的长,进而求得CD的长.【参考答案】(1)BC∥MD. (1分)理由:∵∠MBC=∠D,∠M=∠D,∴∠M=∠MBC,∴BC∥MD. (4分)(2)∵AB是☉O的直径,CD⊥AB于点E,∴∠OEC=90°,EC=ED. (6分)∵AE=16,BE=4,∴AB=AE+BE=20,∴OE=OB-BE=10-4=6.连接OC,则OC=10.在Rt△OCE中,CE=OC2-OE2=8,∴CD=2CE=16. (8分)19.【参考答案】(1)证明:如图,连接OD, (1分)∵BC切☉O于点D,∴OD⊥BC.∵AC⊥BC,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO.又∵AO=DO,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠BAD,即AD平分∠BAC. (4分)(2)如图,连接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,∴∠AOE=∠AEO=∠DOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵∠OAD=12∠BAC=30°,∴∠ADE=∠OAD,∴ED∥AO,∴S△EDA=S△EDO,∴S阴影=S扇形DOE=60π×22360=2π3. (8分)20.【解题思路】(1)易证△ABP≌△DEQ,可得BP=EQ,同理可证得PE=BQ,由此即可证明结论.(2)①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBQE是菱形,此时t=2.②当∠BPE=90°时,四边形PBQE是矩形,则点P在以BE为直径的圆上,即点P在☉O上,所以点P与点A或点F重合时,四边形PBQE为矩形,由此可得t=0或4.【参考答案】(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.由☉O的半径为4 cm,易得正六边形ABCDEF的边长为4 cm.∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t cm,PF=QC=(4-t)cm. (2分)在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ,∴BP=EQ,同理可证PE=QB,∴四边形PBQE是平行四边形. (4分)(2)①2 (6分)②0或4 (9分)21.【解题思路】(1)连接OB,证明∠ABC+∠OBP=90°,即OB⊥AB,从而证得结论;(2)设☉O的半径为r,则OB=r,AP=5-r,在Rt△OBA和Rt△APC中,利用勾股定理分别用含r的式子表示出AB和AC的长,再利用AB=AC解方程即可求得半径.【参考答案】(1)证明:如图,连接OB.∵OA⊥l,∴∠PAC=90°,∴∠APC+∠ACP=90°. (1分)∵AB=AC,OB=OP,∴∠ABC=∠ACB,∠OBP=∠OPB.∵∠BPO=∠APC,∴∠ABC+∠OBP=90°,即∠OBA=90°, (3分)∴OB⊥AB,∴AB是☉O的切线. (5分)(2)设☉O的半径为r,则OB=r,AP=5-r.在Rt△OBA中,AB2=OA2-OB2=52-r2, (6分)在Rt△APC中,AC2=PC2-AP2=(25)2-(5-r)2. (7分)∵AB=AC,∴52-r2=(25)2-(5-r)2,解得r=3,即☉O的半径为3. (9分)22.【参考答案】【问题呈现】在△MBA和△MGC中,BA=GC,∠A=∠C,MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴MB=MG. (4分)∵MD⊥BC,∴BD=GD,∴DC=GC+GD=AB+BD. (5分)【实践应用】(1)BE=CE+AC. (7分)(2)∵AB=AC,∴A是BAC的中点.∵AE⊥CD,根据阿基米德折弦定理,得CE=BD+DE. (8分)∵△BCD的周长为42+2,∴BD+CD+BC=42+2,∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=42+2. (10分)∵BC=2,∴CE=22.在Rt△ACE中,∠ACD=45°,∴AE=CE=22,∴AC=4. (12分)选择12345678910填空11.　　　　　 12.　　　　　 13.　　　14.　　　　　 15.　　　　　 16.　　　12345678910ADABCCBCAD11.30°12.3513.4314.2或515.π4-1416.3+1