辽宁省大连市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

注意事项：1. 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则（  ）A. B. C D. 2. 命题“，”否定是（  ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ）A. B. C. D. 4. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ）A. B. C. D. 5. 函数的图像为（）A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. “若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（  ）A. B. C. 4 D. 58. 设函数，若奇函数，则（  ）A. B. C. D. 二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（      ）A. B.  ，C. D. 10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（  ）A. 一定存在，使得B. 一定存在，使得C. 不一定存在，使得D. 不一定存在，使得12. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 为奇函数B. 值域为C. 若，且，则D. 当时，恒有成立第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，，若，则实数的值为______.14. 若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为_______.15. 已知正数满足，则的最小值为____________.16. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知全集为，．（1）求集合；（2）设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.18设．（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；（2）当时，试解关于的不等式.19. 已知函数.（1）若，判断的奇偶性并加以证明.（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.20. 已知函数，，（1）若的解集为，求a的值；（2）试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 已知函数，.（1）若函数在上为偶函数，试求实数的值；（2）在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；②若，试求实数的取值范围.22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.（1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；（2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；（3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷命题人：张军校对人：沙绿洲注意事项：1. 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则（  ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】确定，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：C.2. 命题“，”的否定是（  ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故选：B3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由的定义域求出，再令，解得即可.【详解】函数的定义域为，即，所以，令，解得，所以函数的定义域为.故选：A4. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（  ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】因为对，关于的不等式恒成立，当时恒成立，符合题意；当时，，解得；综上可得.因为，所以“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件可以是.故选：B5. 函数的图像为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.6. 已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.【详解】取，则在不单调；取单调递增，但单调递减，故“为增函数”是“为增函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.7. “若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（  ）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.【详解】，，即恒成立，，当且仅当，即时等号成立，故.对比选项知A满足.故选：A8. 设函数，若是奇函数，则（  ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先得到的解析式，再根据为奇函数求出参数的值，即可得到的解析式，最后代入计算可得.【详解】因为，所以，因为是奇函数，所以，即，又，所以，解得，所以，所以.故选：C二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（      ）A. B.  ，C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；故选：ACD.10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式的解集为，故且，即，对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：AC11. 已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（  ）A. 一定存在，使得B. 一定存在，使得C. 不一定存在，使得D. 不一定存在，使得【答案】AB【解析】【分析】取，构造函数，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在使得，再依次判断每个选项得到答案.【详解】函数是定义在上的增函数，故，对任意值，，考虑，函数单调递增，则，，故存在使得，即，对选项A：，存在，使得，正确；对选项B：，存在，使得，正确；对选项C：，存在，使得，错误；对选项D：，存，使得，错误；故选：AB.12. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 为奇函数B. 值域为C. 若，且，则D. 当时，恒有成立【答案】AC【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为，且，所以为奇函数，A对；当时，令，当且仅当时等号成立，由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，而在上递增，故在上递减，在上递增，且，由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，所以值域为，B错；由，若且，所以，故，当且仅当时等号成立，而时，故等号不成立，所以，C对；由，即时，D错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，，若，则实数的值为______.【答案】或【解析】【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.【详解】因为，又，所以，当时，符合题意；当，则，解得，综上可得或.故答案为：或14. 若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】确定函数单调递增，得到且，解得答案.【详解】在上为单调函数，，为单调递增函数，故，单调递增，，且，即，故.故答案为：15. 已知正数满足，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】令，则且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值.【详解】因为，，令，则且，因为，所以，所以，即，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以或（舍去），所以的最小值为，当且仅当、时取等号.故答案为：16. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】不妨设，则，由，得，则，构造函数，则，，所以函数在上单调递减，因为为偶函数，所以，则，所以函数为偶函数，且函数的定义域为，由，得，即，所以，解得且，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知全集为，．（1）求集合；（2）设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式即可；（2）依题意可得的解集非空且是的真子集，设，即可得到，解得即可.【小问1详解】由，得，由，得，解得，故.【小问2详解】因为且“”是“”的充分不必要条件，所以的解集非空且是的真子集，设，则，即，解得或，当时不等式的解集为，符合题意；当时不等式的解集为，符合题意；综上，实数的取值范围为．18. 设．（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；（2）当时，试解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则符合题意. 当时，取，则成立，符合题意.当时，二次函数的图像开口向下，要有解，当且仅当，所以.综上，实数的取值范围是.【小问2详解】不等式，因为，所以不等式可化为，当，即时，不等式无解；当，即时，；当，即时，；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．19. 已知函数.（1）若，判断的奇偶性并加以证明.（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先求出的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；（2）设（），依题意只需，再分、、、四种情况讨论，求出的最小值，从而求出的取值范围.【小问1详解】为奇函数，证明如下：因，所以，则的定义域为，且，所以为奇函数.【小问2详解】时，不等式恒成立，对恒成立.设（），则只需即可.当时，则在单调递增，所以，解得，所以；当时，因为在单调递减，单调递增.①当，即时，在单调递减，所以，解得，舍去；②当，即时，在单调递增，所以，解得，所以此时；③当，即时，，解得，所以此时；综上，实数的取值范围为.20. 已知函数，，（1）若的解集为，求a的值；（2）试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2 （2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入数据得到，根据不等式与方程的关系确定，代入计算得到答案.（2）题目转化为，根据单调性计算，根据二次函数性质考虑和两种情况，计算最值得到答案.【小问1详解】，即，整理得到，不等式的解集为，故为方程的根，即，解得，故，解得，则.小问2详解】对，，恒成立，只需.在上单调递增，因此；的对称轴为.当，即时，，故，即，无解，舍；当，即时，，故，解得，舍.综上所述：不存在实数符合题意.21. 已知函数，.（1）若函数在上为偶函数，试求实数的值；（2）在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；②若，试求实数的取值范围.【答案】（1）（2）①在上单调递增，证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据偶函数确定且，解得答案.（2）任取满足，计算得到函数单调递增，变换，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.【小问1详解】在上偶函数，故，，即，解得或，由区间定义可知，即，不满足，所以.【小问2详解】①函数在上单调递增；证明如下：，，任取满足，，由于，故，，于是，则，则在上单调递增.②函数的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，由，即，又因为在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.（1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；（2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；（3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.【答案】（1）是，证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数，进行判定，即可求解；（2）若为的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解.【小问1详解】函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”.【小问2详解】记，，可得，故若为的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即；由，当时，在上单调递增，且，即，所以不包含于，不合题意；当时，，符合题意；当时，，所以，不合题意；综上可知，，即实数的取值范围是.【小问3详解】对于任意区间，记，由已知得在上单调递减，故，因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需，即只需或，由显然不恒成立，所以存在常数使得.如，取，区间满足性质②；如，取，区间满足性质②；综上，函数一定存在“美好区间”；记，则图象连续不断，下证明有零点：因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记；若，则是的零点，若，则，即，，由零点存在性定理，可知存在，使得，若，则，即，，由零点存在性定理，可知存在，使得，综上，有零点，即，因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符），即不属于的任意一个“美好区间”，证毕.【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.