湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点且倾斜角为的直线方程为( )
A.B.
C.D.
2．“”是“直线与直线垂直”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是( )
A.B.C.D.
4．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上这条直线被称为“欧拉线”已知的顶点，，，则的欧拉线方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（A，B分别为切点），若，则的最小值是( )
A.B.C.D.
7．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．满足下列条件的直线与，其中的是( )
A.的倾斜角为，的斜率为1
B.的斜率为，经过点
C.经过点，经过点
D.的方向向量为，的方向向量为
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.点是图像的一个对称中心
B.的单调递增区间为，
C.在上的值域为
D.将的图像先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，则
11．曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是( )
A.点P到y轴距离的最大值为3
B.点P到原点距离的最大值为
C.周长的最大值为
D.最大值为
12．在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是( )
A.平面
B.面面
C.直线到平面的距离是
D.点到直线的距离是
三、填空题
13．已知向量与的夹角为，，，则，_________.
14．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为_________.
15．已知P为抛物线上的任意一点，F为其焦点，Q为圆上的一点，则的最小值为_________.
16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则C的离心率的取值范围为________.
四、解答题
17．如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
18．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的
(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；
(2)求王阳最终通过面试的概率
19．已知双曲线的实轴长为，且过点
(1)求双曲线C的方程
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求
(3)若M，N是双曲线C上不同的两点且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上
20．已知O为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
(1)求椭圆C的方程
(2)求证：直线恒过定点；
(3)斜率为的直线交椭圆C于M，N两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为S，求的最大值
21．如图，轴垂足为D点，点M在的延长线上，且当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程为C.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)当时，点M的轨迹方程记为.
(i)若动点N为轨迹外一点，且点N到轨迹的两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
(ii)轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点E，E在x轴上方，，直线交轨迹于点G，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求t的取值范围
参考答案
1．答案：D
解析：因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，
即，
故选：D
2．答案：A
解析：因为直线与直线垂直，
等价于，即，
所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件
故选：A
3．答案：C
解析：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点,
若是正三角形,则，
即，即，
即有，则，解得.
故选：C
4．答案：C
解析：在长方体中,以D点为原点,
分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
可得,
则
则直线与所成角的余弦值为.
故选：C
5．答案：C
解析：因为的顶点，，，
可知的重心为点，即点，
由题意，可知，
所以的外心为斜边的中点，即点，
所以的欧拉线方程为，
即.
故选：C
6．答案：B
解析：由题意得，，
因为，
又，即，
即，
化简得M点的轨迹为，
即在直线上，
表示的几何意义为M点到原点距离的平方，
故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值，
即最小值为.
故选：B
7．答案：A
解析：依题意得，，
所以
，
又，，
所以设异面直线AE与BD所成的角为，
则
故选：A
8．答案：C
解析：由题意可知：，
，且，
在中，由余弦定理可得
在中，由余弦定理可得
即，可得，
所以双曲线C的离心率为.
故选：C
9．答案：BCD
解析：对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确
故选：BCD
10．答案：AC
解析：因为，
所以点是图像的一个对称中心，A正确；
令，
则，
故的单调递增区间为，B错误；
因为，所以，
故在上的值域为，C正确；
将的图像先向右平移个单位长度，
可得函数的图像
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
可得的图像，D错误
故选：AC
11．答案：BD
解析：由题意可知：，，设，
对于选项A：因为，
即，
解得，
当且仅当时，等号成立，
所以点P到y轴距离的最大值为2，故A错误；
对于选项B：因为，
且，
则且，
可得，
则，即，
当且仅当同向时，等号成立，
所以点P到原点距离的最大值为，故B正确，
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，
所以最大值为，故D正确；
故选：BD
12．答案：ABD
解析：A.如图所示：
连接交于点E，连接DE，
所以，又平面，
平面，
所以平面，故正确；
B.因为，D是AC的中点，
所以，又平面平面ABC，
所以平面，又平面，
所以面面，故正确；
C∵平面，
∴到平面的距离等于点到平面的距离，
C以D点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，即，
不妨取，
所求距离，故错误；
D.如图所示：
作，连接，
因为平面ABC，所以，
又，
所以平面，则，
又，
所以，故正确；
故选：ABD
13．答案：2；
解析：由题意得，
因为，
所以.
故答案为：2；
14．答案：
解析：不妨设，则，
∴直线与所成角为
故答案为
15．答案：
解析：由题意得，取点，设圆的圆心为N，
则，所以，
又因为，
所以，则，
，即求得最小值，
设，则，
令.
当时，，
即的最小值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意可得，，
由于为平行四边形，故，
直线的方程为，渐近线方程，
联立，，
故，
所以，
因此，化简得，
故离心率为，
故答案为：
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：如图，以A为坐标原点，所在的直线分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系设，
则有.
(1)因为分别为的中点，
所以.
所以.
所以.
又因为平面，所以平面.
(2)由(1)，知，
所以.
设平面的一个法向量为
则，即.
解得令，
则.
设平面的一个法向量为，
则，
即.
得令，则，
因为，
所以故平面平面
18．答案：(1)0.063
(2)0.9919
解析：(1)记“王阳第三次答题通过面试”为事件A，
若王阳第三次答题通过面试，则前2次均不通过，
所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
(2)记“王阳最终通过面试”为事件B，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)根据题意可得，则
将点的坐标代入，
得，解得，
故双曲线C的方程为
(2)由(1)得，则，
则直线l的方程为
设，
由，
得，
，，，
所以
(3)设，，
则，
两式相减得
设，则，
所以，
即，
所以，
即，
所以点P在直线上
20．答案：(1)
(2)证明见解析
(3).
解析：(1)由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，，
则椭圆方程C：.
(2)设直线方程为，，，
由，
消去x得，，
，
则，，
，
，
又点在椭圆上，
则，即
则，
即，则，
即
解得，此时，
即直线的方程为，
所以直线恒过定点.
(3)设直线的方程为，，，
由，
消去y得，
，即，
则，，
所以
点O到直线的距离，
所以，
又，，
所以
，
所以
则当即时，
取最大值为.
21．答案：(1)
(2)(i)没有交点，理由见详解
(ii)
解析：(1)设，
因为，则，
又因为点P在圆上，则，
所以点M的轨迹C的方程为.
(2)若，则的方程为，即，
(i)与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点N为轨迹外一点，
所以与圆没有交点；
（ⅱ）由题意可知：，
设，
则直线，
联立方程，
消去y可得，
则，
可得，
则，
令，解得，
由题意可知，
因为，
则，
又因为，
可得，
所以t的取值范围为.