江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省连云港市2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设复数，，若，则x的值为( )
A.B.C.D.
3．设，，若函数满足，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4．已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为( )
A.B.C.D.
5．设，，且，则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
6．若，，为方程的两个根，则( )
A.B.C.D.
7．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，，，两两垂直，球O的体积为，，二面角的大小为，则三棱锥的体积为( )
A.2B.C.D.4
二、多项选择题
9．已知直线m，l，平面，，，则下列结论正确的有( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
10．已知函数的图象经过点，将的部分图象沿x轴折成直二面角（如图所示），若，则( )
A.
B.
C.将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象
D.函数的单调递减区间为
11．在中，点D在边上，，，E为的中点，与交于F.则下列结论正确的有( )
A.
B.若，则
C.
D.若，，则
三、填空题
12．函数的定义域是________.
13．若，则________.
14．若直线是曲线的切线，则的最小值是________.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，.
(1)求B；
(2)求的值.
16．已知数列的前n项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求和：.
17．已知椭圆经过点和点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在x轴的上方），且，若的面积为，求的值.
18．在四棱锥中，，，，，.
(1)如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
(2)如图2，若平面，证明：平面；
(3)在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
19．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，判断函数在区间上零点的个数，并证明；
(3)若，且，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，即，
整理得，
因此，集合，
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：，
由题意可得，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：，指数函数为单调递减函数，即.
函数为单调递减函数.
由得，解得.
故选：A
4．答案：C
解析：设等差数列为，公差为，由题意可知，，成等比数列，设公比为q，
则，可得，两式作比可得，解得.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为，，则，因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为2.
故选：B.
6．答案：D
解析：因为，是方程的两根，
则，，
且，则，，
可得
，
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：当，时，则，即，等价于，
等价于，即；
当，时，则不成立，也不成立；
当，时，则，即成立，
等价于，即；
当，时，则，即，等价于，
等价于，即；
综上所述：“”是“”的充要条件.
故选：C.
8．答案：C
解析：，，两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，，，是该长方体同一顶点处的三条棱，
长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由得，
所以，
作，垂足为D，连接，
因为平面，平面，所以，同理，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
由得，而，
又，所以，所以，
，
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A：若，，则，故A正确；
对于B：若，，则m，l的位置关系有：平行、相交或异面；故B错误；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若，，，则，故D正确；
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：
如图，过N作轴，垂足为C，过M作轴，垂足为D.
由题意可知平面平面，平面平面，
又平面，则平面，
平面，则，
则，
故，
由，
则的周期，
A项，由图象可知，，
所以
，
由，解得；
B项，由A项可知，.
则，
因为图象经过点，即，.
，或.
由函数图象可知，
则，所以，故B正确；
C项，由AB可知，，
即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象，
，故C错误；
D项，.
由，解得，
故函数的单调递减区间为，故D错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：对于选项A：
因为，故A错误；
对于选项B：若，且，
因为，
可知，即，故B正确；
对于选项C：设，
又因为B，E，F三点共线，则，
可得，解得，
即，所以，故C正确；
对于选项D：因为，，
则，
即，可得，
且，
即，解得，
且，所以，故D正确；
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题意得，解得，
则其定义域为.
故答案为：.
13．答案：/0.5
解析：由得：
，
所以
化简得到：
，
所以；
所以.
故答案为：.
14．答案：0
解析：由求导得：，
设切点为，则，①，
切线方程为，即，
由题意，，②，将①代入②，可得：，
于是，.
设，
则，
因，则，由，解得，
故当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故当时，函数取得最小值，
即，从而的最小值是0.
故答案为：0.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）在中，因为，，所以由正弦定理得，
由，所以，得，
因为B为三角形内角，所以.
（2）法1：由余弦定理得，
所以.正弦定理得，
所以.
法2：因为，，，
所以由正弦定理得，，
由知，则C为锐角，所以，
，
所以.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）时，，
有，又时，，有，
所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得数列的通项公式，
设
则①
②
①②得：
.
17．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）由椭圆过知，
将代入方程，得，求得，
则.
所以椭圆C的离心率.
（2）由（1）知椭圆C的标准方程为，，
当直线l的倾斜角为0时，B、M、N共线，不合题意.
当直线l的倾斜角不为0时，设，，.
得，有，
的面积为，
由的面积为，知，解得.
由，知，.
当时，，得，
解得或.
同理，当时，或.
综上，或.
18．答案：(1)不能，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）不能.
假设在侧面内存在直线与平行，可得与侧面平行.
依据线面平行性质定理，可得与平行，这与已知条件矛盾.
（2）在底面中，，，，
所以，又，，
由余弦定理得，所以，得
因为平面，平面，所以.
又，平面，所以平面.
（3）过点A作直线l垂直平面，，
以A为原点，，分别为x，y轴正方向，l为z轴，向上为正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，
因为E为棱上的点，设，
取，，
设平面的法向量为，则，
令得，，则平面的一个法向量为，
因为平面，所以为平面的法向量，
因为二面角的大小为，
所以，得.
则，，，
设直线BE与PC所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
19．答案：(1)；
(2)两个，证明见解析；
(3)证明见解析
解析：（1）的定义域为，，
由，得，增区间为，
，得，减区间为，
故在处取得最小值.
（2）因为，故，
由的定义域为，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，，在单调递减，且图象在上连续不断，所以在上有且只有一个零点.
下面证明，令，，
又，当，，单调递减，
故，，故，
由，，在单调递增，且图象在上连续不断，所以在上有且只有一个零点.
综上，函数在上有2个零点.
（3）先证，由在递减，在递增，时，不妨设，令，，
则，
故在递增，则有，即，
有，则有，
又，，且在递增，故有，
则有成立；
再证，
由上可得，
得，则有，，
要证，即证，
又因为，，在递减，
故只需证，即证，即证，
又，得，令，则，
不等式可以转化为，
令，，，
令，，，
当时，，递增，，
则有，故有递增，因此，即时，成立，所以成立，
综上，不等式成立.