云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线l的一个方向向量是,则直线l的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．已知直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
3．与直线关于x轴对称的直线方程为( )
A.B.
C.D.
4．圆和圆交于A,B两点,则两圆公共弦的弦长为( )
A.B.C.D.
5．椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )
A.B.C.2D.4
6．若圆上存在两个点到直线的距离为,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.或.D.或
7．点F为椭圆的右焦点,直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,为正三角形,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且.则下列结论中错误的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.当E向运动时,二面角的大小不变
C.二面角的最小值为
D.当E向运动时,总成立
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.已知,,,若A,B,C,D四点共面,则实数为5
B.若直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于,则直线l与平面所成的角等于
C.已知点,,,若,的夹角为锐角,则的取值范围为
D.已知直线l的一个方向向量是,平面的一个法向量是,则
10．已知椭圆的左,右焦点为,,A,B分别为它的左右顶点,点P为椭圆上的动点（P不在x轴上）,下列选项正确的是( )
A.存在点P使得
B.的周长为
C.直线PA与直线PB的斜率乘积为
D.的最小值为
11．已知圆C的方程为,则下列结论正确的是( )
A.若为圆C上的点,则的最大值为
B.已知直线与圆C所截得的弦长最短,则m的值为0
C.由直线上的一点向圆C引切线,则切线长的最小值为
D.若圆C上任一点,其坐标均使得不等式恒成立,则实数m的取值范围是
三、填空题
12．若,则______________.
13．如图,圆弧形拱桥的跨度,拱高,则拱桥的直径为___________m.
四、双空题
14．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆的中心,半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆,则其蒙日圆方程为__________,若P为蒙日圆上一个动点,过点P作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于A､B两点,则面积的最大值为_________________.
五、解答题
15．已知圆和圆.
(1)过点作圆的切线,求此切线的方程;
(2)动圆M在圆的内部,并且与圆内切与圆外切,求动圆M的圆心M的轨迹方程.
16．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角A;
(2)若为锐角三角形,求的取值范围.
18．在中,,,,D、E分别是、上的点,满足且,将沿折起到的位置,使,M是的中点,如图所示.
(1)求证：平面;
(2)求与平面所成角的大小;
(3)在线段上是否存在点N,使平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
19．已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知是椭圆内一点,过点M任做一条直线与椭圆交于A、B两点,求以M为中点的弦AB所在的直线方程;
(3)设点D为椭圆的右顶点,是否存在过点的直线l交椭圆C于P、Q两点,使得直线DP,DQ的斜率之和等于－1？若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：直线l的一个方向向量是,故斜率为
设直线l的倾斜角是,则,
故.
故选：C.
2．答案：C
解析：令得,
当时,,,重合,
当时,,
故“”是“”的充要条件,
故选：C.
3．答案：D
解析：直线的斜率为,且过点,
则直线关于x轴对称的直线的斜率为,且过点,
所以所求直线方程为,即.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意,圆和圆,
两式相减,可得,即公共弦所在直线的方程为,
又由圆可化为,可得圆心坐标为,半径为,
则圆心到直线的距离为,
所以,
即两圆公共弦的弦长为.
故选：A.
5．答案：A
解析：椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,,
解得.
故选：A.
6．答案：C
解析：由两平行直线距离公式可知,与相距的直线为与.
又的圆心为,半径为,与相距.
则与中一条直线与圆相交,另一条与圆相离.
即一条直线到距离小于,另一条直线到距离大于.
则或或.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为为正三角形,,不妨设A在第一象限,所以,
A在椭圆上,则,,可得,
即得,所以,
因为,故解得.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为为定值,故为定值,A到平面的距离即为A到平面的距离,
故三棱锥的体积为定值,故A正确.
平面即为平面,而平面即为平面,
故当E向运动时,二面角不变,故B正确.
建立如图所示的空间几何体,
则,,,,,
设平面的法向量为,
又,
所以,取,则,
平面的法向量为,所以,
设二面角的平面角为,则为锐角,故,
当,故,所以,
当且仅当时取最大值即取最小值,故C正确.
因为E,F在上,且,故可设,,,
,,
所以,
故不恒为零,故D错.
故选：D
9．答案：AC
解析：对于A,由A,B,C,D四点共面可知,存在唯一一对实数x,y使得,
即,
所以,解得,故A正确;
对于B,若直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于,
则直线l与平面所成的角等于,故B错误;
对于C,因为,,
由,的夹角为锐角可得,
即,解得且,故C正确;
对于D,因为直线l的一个方向向量是,平面的一个法向量是,且,
所以或,故D错误;
故选：AC.
10．答案：BD
解析：椭圆,则,,,则,,
对于A：当P在椭圆的短轴顶点时取得最大值,
不妨取,此时,
所以为锐角,所以不存在点P使得,故A错误;
对于B：因为,,所以的周长为,故B正确;
对于C：因为,,设,
则,故C错误;
对于D：因为,
所以
,
当且仅当,即时取等号,故D正确;
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：A选项,圆C圆心的坐标,半径为,
则,故A正确;
B选项,直线方程,则,
令,解得,故定点为,根据圆C截取弦长的最短时,直线方程为,此时,故B正确;
C选项,圆心到直线l的距离为,切线长的最小值为,故C错误;
D选项,设,,,
则恒成立转化为,
由,则,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为.
故答案为：.
13．答案：
解析：设圆心为O,半径为r,连接,,,如下图所示,
,,
由勾股定理得,解得,
所以直径为.
故答案为：13.
14．答案：;7
解析：椭圆方程为：,蒙日圆半径为r,由题可知,
所以蒙日圆方程为,
由于P为其蒙日圆上一动点,过点P作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交A､B两点,
根据蒙日圆定义可知,于是为蒙日圆的直径,过点O,,
可知,
所以的面积为：,
当且仅当取等号,
故答案为：,7.
15．答案：(1)或
(2).
解析：(1)圆心为,半径为,
当切线斜率不存在时,显然满足要求;
当切线斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线的方程为,
即：,
所以圆心到切线的距离等于半径2,即：,
则切线方程为,化简可得;
所以切线方程为：或
(2),,设,动圆的半径为r,
所以,
所以M点的轨迹是以,为焦点的椭圆,
所以,,,所以轨迹方程为.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)由函数图象可得,, ,,
即,根据图象可得,,解得,,
因为,所以,所以;
(2), ,
关于x的方程在上有两个不同的实数解,
则与的图象有两个交点,结合函数图象可知.
实数m的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
由正弦定理可得,
即,所以,
因为,所以,所以,
又因为,所以.
(2)因为
,
因为,,,,
所以,,
所以,所以.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,或
解析：(1)因为在中,,,且,
所以,,则折叠后,,,
又,、平面,所以平面,
因为平面,所以,
又因为,,、平面,所以平面.
(2)由(1)可知,平面,,
以点C为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
翻折前,在中,,则,则,
则,则,,
翻折后,因为平面,平面,则,
所以,,,则,
故,,,,,,
,,,
设平面的法向量为,则,
不妨令,则,,则.
设直线与平面所成角的大小为,
则有,则,
直线与平面所成角的大小为.
(3)假设在线段上存在点N,使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中,,,,
设,
则,
设平面的法向量为,则有,
不妨令,则,,所以,
设平面的法向量为,则有,
不妨令,则,,所以,
若平面与平面成角余弦值为.
则满足,
化简得,解得或,即或,
则或.
故在线段上存在这样的点N,使平面与平面成角余弦值为.
此时的长度为或.
19．答案：(1)
(2)
(3)存在,.
解析：(1)由题意得,
将代入椭圆方程得,
又,解得,,
故椭圆方程为.
(2)根据题意得中点弦的斜率存在,且M在椭圆内,设,,
所以,,
两式作差,得,
由于M是BC的中点,故,,
所以,所以,所以,
所以中点弦的方程为,所求的直线方程.
(3)当直线l的斜率为0时,此时D和P或D和Q重合,显然不满足条件,
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为：,,,
由,可得,
由题意,
则,,
由
,
由,即,
故存在满足条件的直线,直线l的方程为：.