浙江省九校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省九校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．向量,,若,则( )
A.,B.,
C.,D.,
3．若点在圆内,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．若直线与直线垂直,则a的值是( )
A.2B.0C.0或2D.2或
5．已知椭圆的下焦点是,上焦点是,点P在椭圆上,如果线段的中点在x轴上,那么( )
A.B.C.D.
6．已知平面上两定点A,B,则满足（常数且）的动点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆.已知在中,,,则面积的最大值是( )
A.4B.C.D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆C于A、B两点,其中B为上顶点,且,则椭圆C的离心率( )
A.B.C.D.
8．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A,B,C,其中A在C正西60km处,B在C正东100km处,台风中心在C城市西偏南方向200km处,且以每小时40km的速度沿东偏北方向直线移动,距台风中心内的地区必须保持一级警戒,则从A地解除一级警戒到B地进入一级警戒所需时间（单位:小时）在以下哪个区间内( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列选项正确的是( )
A.空间向量与垂直
B.已知空间向量,,则在方向上的投影向量的模为
C.已知向量,,,若可作为一组基底,则x可取1
D.若和分别是直线和直线方向向量,则两直线所成夹角为
10．已知椭圆的离心率为,短轴长为2,P为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的左、右焦点,则下列说法正确的是( )
A.过点的直线与椭圆交于A,B两点,则的周长为8
B.存在点P,使得的长度为4
C.椭圆上存在4个不同的点P,使得
D.内切圆半径的最大值为
11．在数学中有“四瓣花”系列曲线,下列结论正确的有( )
A.曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B.曲线夹在直线和直线之间
C.曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍
D.曲线上任意两点距离都不超过
三、填空题
12．直线经过的定点坐标为__________.
13．在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们两两所成夹角都是,则线段的长度为__________.
14．若点在椭圆上,点在直线上,则的最小值是__________.
四、解答题
15．已知的顶点C在直线上运动,点A为,点B为.
（1）求直线的方程;
（2）的面积是否为定值?若是,求出该值.若不是,说明理由.
16．在平面直角坐标系中,已知圆及点和
（1）若斜率为1的直线l过点B,且与圆C相交,截得的弦长为,求圆C的半径r;
（2）已知点P在圆C上,且,若点P存在两个位置,求实数m的取值范围.
17．如图,,,且,平面平面,四边形为正方形.
（1）求证:.
（2）若点P在线段上,且点P到平面距离为,求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆左、右焦点分别为,,点在椭圆上,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,当直线的斜率为0时,.
（1）求椭圆的方程;
（2）若P是该椭圆上的一个动点,求的取值范围;
（3）求四边形的面积的最小值.
19．在空间直角坐标系中,任何一个平面都能用方程表示.（其中A,B,C,且）,且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面,,,
（1）若平面与平面互相垂直,求实数m的值;
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明:点到平面的距离为;
（3）若四个平面,,,围成的四面体的外接球体积为,求该四面体的体积.
参考答案
1．答案：C
解析：直线的斜率,故倾斜角满足,
又,
故.
故选:C
2．答案：B
解析：由可得,
因此可得,解得.
故选:B
3．答案：D
解析：由题可知,,解得.
故选:D
4．答案：C
解析：直线与直线垂直则,解得或.
故选;C
5．答案：A
解析：设点,由题意可知:,,
所以,,,
所以,,因为线段的中点在x轴上,
所以由中点坐标公式可知:,所以,
代入椭圆方程得:,所以点,
则,,
所以.
故选:A.
6．答案：D
解析：在平面直角坐标系中,不妨设,,,
因为
得
化简得,
易知,该圆圆心,A,B三点共线,该圆半径,
所以面积最大值是.
故选:D
7．答案：B
解析：由题意,,,设则由,
可得,
解得,,即,
又A在椭圆上,故,即,
故,即离心率.
故选:B
8．答案：A
解析：作与H,作与G,
直线l的方程为,
故
又可得,,
,
从A地解除一级警戒到B地进入一级警戒所需时间为小时.
故选:A
9．答案：BC
解析：对于A,由向量与,得,,不垂直,A错误;
对于B,向量,,在方向上的投影向量,其模为,B正确;
对于C,当时,,假定,,共面,即存在有序数对,使得,
则,于是,此方程无解,因此,,不共面,
即当时,可作为一组基底,C正确;
对于D,由,而,解得,
直线所成夹角为,D错误.
故选:BC
10．答案：ACD
解析：对A,由题意,,则,,
故,解得,,,故椭圆,
则过点的直线与椭圆交于A,B两点,则的周长为,故A正确;
对B,根据椭圆性质可得,即,故,
即不存在点P,使得的长度为4,故B错误;
对C,根据可得P的轨迹为以为直径的圆,即,不包括,两点,
易得该圆与椭圆有四个交点,即椭圆上存在4个不同的点P,使得,故C正确;
对D,的周长为,设的内切圆半径为r,
则,故当最大时最大,此时为上下顶点,
,则,解得,故D正确.
故选:ACD
11．答案：ABC
解析：A选项,,,有,
,,有,
,时,有,
,时,,
画出图形,如下:
经过的整点有:,,,,,,,,,共9个,故A正确;
B选项,曲线,
当,,有,即,
当,,有,即,
当,,有,即,
当,,有,即,
画出图形,如下:
其中,,
故,则,
故曲线由四个弓形组成,弓形的弓高为,
是夹在直线和直线之间,故B正确.
C选项,由A选项知,表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆,
其中正方形边长为,半圆半径为,故其面积为,
同理,曲线也可以分解一个正方形和四个半圆,
其中正方形边长为,半圆半径为,其面积为,
所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍,C正确;
D选项,当,,有,即,
当,,有,即,
当,,有,即,
当,,有,即,
画出图形,如下:
连接两圆心并延长,分别与两圆交于,
则,D错误.
故选:ABC
12．答案：
解析：,即,
则,解得,则其经过定点.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为,
所以
,
则,
故答案为:
14．答案：
解析：
,
当且仅当,等号成立,
令,即,代入椭圆方程得,
由,解得,
,则（可验证等号可取）,
故的最小值是.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）4
解析：（1）由,得,
由点斜式方程,化简得.
（2）的面积为定值,
由于,故,
又点C在直线上运动,
故点C到直线的距离为定值,即为两平行直线的距离,
,
,
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆化为,故,解得,
所以圆心为,
直线l的方程为,圆心到直线距离为,
由垂径定理得,解得.
（2）点P在以为直径的圆上,
由于点和,故此圆方程为,
从而圆C与圆O有两个交点,其中圆心距,
只需满足,
得,即,解得
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:如图,连接,,,,
又,,
又平面平面,且交线为,
平面,且平面,,
而四边形为正方形,则,且,平面,平面,
平面,.
（2）,平面平面,且交线为,平面,
平面,平面,故平面平面,
从而点D到平面的距离为点D到直线的距离,且为,
又点P在线段上,且点P到平面距离为,
故点P为线段的三等分点（靠近D点）.
如图,取中点M,以C为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
又,,设平面的法向量,
则,不妨令,可得,
,,设平面的法向量,
则,不妨令,可得,
故平面的法向量
设平面与平面所成角为,,
由图可知平面与平面所成角锐角,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）.
解析：（1）当直线的斜率为0时,直线垂直于x轴,
,,即,
在C上,所以,
解得:,,所以椭圆方程为;
（2）由（1）,,设,
则
因为,故当,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值2
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值3,
所以的取值范围为
（3）（i）当的斜率k存在且时,的方程为,代入椭圆方程,
并化简得,必有,
设,,则,,
;
因为与相交于点P,且的斜率为,
所以.
四边形的面积
当时,上式取等号.
（ii）当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积6.
综上,四边形的面积的最小值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）根据题意,平面的法向量,平面的法向量,
所以,故.
（2）不妨设,在平面内取一点,
则向量,
取平面的一个法向量,
所以点到平面的距离为.
（3）由解得交点,
同理,可得其它交点,,,
又四面体外接球体积为,故外接球半径,
设球心为,则,即有
得或,
当球心坐标为时,,
得（舍去）,
当球心坐标为时,,
得（舍去）或,故,
所以到平面即的距离为,
又是正三角形,所以,
故.