北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考试题（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的平方根是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：，5的平方根为，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义，是解本题的关键．
2. 下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（ ）
A. 9、16、25B.
C. 0.3、0.4、0.5D. 6、6、6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
【详解】A． ，不能构成直角三角形；
B．，不能构成直角三角形：
C．，能构成直角三角形；
D．，不能构成直角三角形
故选C．
3. 估算的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
4. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．
【详解】由题意可知，，
∴．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点A横纵坐标符号判定即可．
【详解】解：∵A(-2,3)，-20，
∴点A(-2,3)在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内事业的坐标符号：第一象限(+,+），第二象限(-,+），第三象限(-,-），第四象限(+,-）是解题的关键．
6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A. 7B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值．
【详解】解：由数轴可得，
∴，，
∴
，
故选：A．
7. 如图，在中，，是边上的高，若，则（ ）

A. 2B. 2.4C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键．
8. 若某个正整数的算术平方根是x，则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键．由题意可得原正整数可表示为，则下一个正整数为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：原正整数可表示为，则下一个正整数为，
∴它的算术平方根为；
故选B．
9. 已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，再中利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：∵翻折后与完全重合，
，
设，则，
∵在中，，
即，
解得，，
，
故选：C．
10. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ）
A. 80B. 6400C. 6561D. 6560
【答案】D
【解析】
【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值．
【详解】解：∵，，，
∴对6560只需进行3次操作后变为2，
∵，，，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，
∴m的最大值为6560．
故选：D．
二、填空题（5题，每题3分，共15分）
11. 比较大小：_____（填“”“ ”“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，只需比较即可，利用估算思想解答即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 点在平面直角坐标系中的第_____象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第二象限．
故答案为：四．
13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．
【答案】10
【解析】
【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得：
A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解决此题的关键熟练运用勾股定理的发现的来源．
14. 已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____．
【答案】2023．
【解析】
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y＝|x﹣2|﹣x+3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．
【详解】解：∵，
∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，
即当x＝1时，y＝5﹣2＝3；
当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1，
即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是3+2020×1＝2023，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
15. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______．
【答案】5或或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值．
【详解】解：在中，，
；
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：5或或．
三、解答题（16题8分，17题6分，18题9分，共23分）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质进行化简，根据零指数幂运算法则进行计算，再根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知，，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，分式加减运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
（1）先根据，，求出，，然后再根据平方差公式进行化简求值即可；
（2）根据，，得出，，然后根据分式加减运算法则对进行化简，再整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
，
∴
；
小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ___________；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ___________；
（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．
【答案】（1）见解析，4
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式等知识．
（1）直接利用所长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）根据三角形面积公式得到，进而得到点P的横坐标为或，即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示：的面积为．
故答案为：4；
【小问2详解】
解：点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵P为x轴上一点，的面积为1，
∴，
∴点P的横坐标为：或，
故P点坐标为：或．
四、解答题（19题8分，20题10分，21题10分，共28分）
19. 如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【答案】CE＝13.3km．
【解析】
【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果．
【详解】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km．
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，
所以CE＝13.3km．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上．
（1）试说明；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可；
（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
∵四边形是长方形，
∵把长方形纸片沿折叠，
，
在和△中
【小问2详解】
设，
根据翻折不变性，得：
在中，由勾股定理，得：
解得，
∴，则
∴．
21. 如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．

（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长；
（3）把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数．
【答案】（1）4 （2）阴影部分的面积和边长分别为8、
（3）
【解析】
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点表示的数减去边长即可得解．
【小问1详解】
解：设魔方的棱长为，
则，
解得：；
【小问2详解】
解：棱长，
每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是，
所以魔方的一面四个小正方形的面积为，
；
正方形的边长为；
【小问3详解】
解： 正方形的边长为， 点与重合，
点在数轴上表示的数为．
【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
五、解答题（22题12分，23题12分，共24分）
22. 如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）或2．
【解析】
【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC，可以得到∠DAB=∠EAC，因为AD=AE，AB=AC，即可得到△ABD≌△ACE；
（2）连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，由（1）可得△ABD≌△ACE，所以∠AEC=90°和CE=BD，可以推出∠BDF=∠CEF，再证明△DBF≌△ECH，所以BF=CH，等量代换即可得到BF=FC，即可解决；
（3）点P在△ABC内部，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC，可以得到△是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC的值；当点P在△ABC外部，将△APB绕点A逆时针旋转120得到，连接和PC，过点P作PD⊥于点D，连接PD可以得到△，△是直角三角形和，利用勾股定理即可求出及PC的值．
【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC
∴△ABD≌△ACE
（2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示：
∵△ADB≌△AEC
∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°
∴∠EDB=∠CEH
∵CF=CH
∴∠CFH=∠CHF
∴∠DFB=∠H
∵CE=BD
∴△DBF≌△ECH
∴BF=CH
∴BF=CF
∴点F是BC的中点
（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC
∵将△ABP旋转120°得到
∴∠=120°，AP==2，BP==4
∴=2，
∵∠=120°，∠=30°，
∴∠=90°，
∴PC=．
当点P在△ABC外部，如图所示，
将△APB绕点A逆时针旋转120到△，过点P作PD⊥于点D，连接PD，
∵将△ABP旋转120°得到
∴∠=120°，AP==2，BP==4，
∴=2，
∵∠=120°,∠=30°，
∴∠=150°，
∴∠=30°，
在Rt中，，
，
，
．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．
23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的；
（1） ；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）4
【解析】
分析】（1）利用分母有理化计算即可；
（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；
（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
=
；
【小问3详解】
解：，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．