北师大版2024-2025学年九年级数学上册10月月考模拟卷（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册10月月考模拟卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程①，②，③，④，⑤中，一定是一元二次方程有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，含有3次项，不是一元二次方程；
③，当时，原方程不是一元二次方程；
④，含有2个未知数，不是一元二次方程，
⑤，是分式方程，不是一元二次方程，
故选A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
．
2. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件 ．
本题根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故选：C．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 有一个角为直角的平行四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，难度不大．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故错误，是假命题；
C、不是正方形两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，故错误，是假命题；
D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题，
故选：D．
5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可推出，然后根据矩形的性质即可求出．
【详解】解：四边形是矩形
，
∵于点E，当E为中点，
∴垂直平分，
，
．
故选：D．
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出且，求出即可；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且，
故选：D；
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程（a、b、c为常数，），当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根．
7. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）

A. B. 5C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长．
【详解】解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC＝＝5，
∴BD＝AC＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线AC的长是解答本题的关键．
8. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.
【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．
9. “古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10. 如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
二、填空题
11. 有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为______．
【答案】10%
【解析】
【分析】本题主要考查求平均变化率的方法、解一元二次方程，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：，解题的关键是熟记公式并应用．
设平均每次降价的百分率为，根据题意和公式即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
平均每次降价百分率为10%．
故答案为：10%．
12. 在菱形中，，，菱形的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意画出草图，利用菱形的性质结合可知为等边三角形，得到对角线的长，再根据勾股定理可求得对角线的长，即可求得菱形的面积．
【详解】解：如图，四边形是菱形，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案．
【详解】解：连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案为：．
14. 一元二次方程的两根分别为和，则为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系可以得到，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答．
15. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，由直角三角形的性质可求解．解题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
或
解得，；
【小问2详解】
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．求围栏的长和宽；
【答案】宽为15米，长为20米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设与墙相垂直的一边长为米，则围栏的长为米，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据长方形的长大于宽以及长方形的长小于墙的长度即可得出结论．
【详解】解：设与墙相垂直的一边长为米，则围栏的长为米，
，
解得：或，
当时，，故舍去；
围栏的宽为15米，长为：米．
19. 如图，在矩形中，对角线BD的垂直平分线与AD相交于点，与相较于点，连接BM，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质得出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形；
（2）根据菱形性质得出，在中，根据勾股定理得出，推出，求出即可．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
设长为，则，
在中，
即，
解得：，
所以长为．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
20. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
【答案】20元
【解析】
【分析】设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客得到较多的实惠，即可得出每件应降价20元．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要使顾客得到较多的实惠，
．
答：每件应降价20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．

【答案】（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．
【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2-3x=51-3x（米），
故答案为：（51-3x）；
（2）依题意，得：（51-3x）x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意，
答：篱笆BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51-3x）x=240，
整理得：x2-17x+80=0，
∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”．
22. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
【答案】(1) k≤;(2)-2.
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），
即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
23. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？
【答案】9秒或12秒
【解析】
【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有
x2+（21-x）2=152，
解得x1=9，x2=12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于x的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键．
24. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．
【解析】
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
25. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
（1）当__________时，四边形是矩形；
（2）当__________时，四边形是菱形；
（3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【答案】（1）3 （2）
（3）不存在某一时刻t使得，理由见解析
（4）存在，t等于1或3
【解析】
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
【小问2详解】
解：，，
∴，
即，
∵，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：不存在；理由如下：
过作，交于，如图所示：
则，
∵，
四边形是矩形，
，，
，
矩形中，
∴直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程无实数根，
不存在某一时刻使得；
【小问4详解】
解：如图所示，
根据折叠可知：，，
在矩形中，
，
，
，
，
∵，
∴中，根据勾股定理得：
，
，
即：，
解得：，
答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
26. 已知四边形和四边形均为正方形，连接、，直线与交于点．

（1）如图1，当点在上时，线段和的数量关系是_____，的度数为_____．
（2）如图2，将正方形绕点A旋转任意角度．请你判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）若，，则正方形绕点A旋转过程中，点F、H是否重合？若能，请直接写出此时线段的长；若不能，说明理由．
【答案】（1），
（2）仍然成立 （3）的长为或
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得，，由余角的性质即可得的度数；
（2）由“”可证，可得，，由余角的性质即可得的度数；
（3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【小问1详解】
四边形和四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图2，设交于，

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
正方形绕点旋转过程中，点、重合，此时线段的长为或，理由如下：
①如图：

，，四边形和四边形均为正方形，
，，
直线与交于点，点，重合，
点、、在同一直线上，
，
，
，
；
②如图：

，，四边形和四边形均为正方形，
，，
直线与交于点．点，重合，
点、、在同一直线上，
，
，
，
；
综上，正方形绕点旋转过程中，点，能重合，此时线段的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．